zbir cos uglova

Odgovori Nova tema

2 odgovora
3.495 pregleda

zbir cos uglova 30.03.2006. u 22:59 · pre 250 meseci #1

kako izracunati

cos 2pi/7 + cos 4pi/7 + cos 6pi/7

Re: zbir cos uglova 31.03.2006. u 02:06 · pre 250 meseci #2

Neka je $A=\cos{2\pi\over 7}+\cos{4\pi\over 7}+\cos{6\pi\over 7}$ , onda je

$A\cdot 2\sin{\pi\over 7}=2\sin{\pi\over 7}\cos{2\pi\over 7}+2\sin{\pi\over 7}\cos{4\pi\over 7}+2\sin{\pi\over 7}\cos{6\pi\over 7}$

Sada upotrebimo formulu $2\sin\alpha\cos\beta=\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)$ i dobijemo:

$A\cdot 2\sin{\pi\over 7}=\sin{3\pi\over 7}-\sin{\pi\over 7}+\sin{5\pi\over 7}-\sin{3\pi\over 7}+\sin\pi-\sin{5\pi\over 7}$ , odakle posle sređivanja dobijamo $A=-{1\over 2}$

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Re: zbir cos uglova 31.03.2006. u 10:00 · pre 250 meseci #3

Evo sad i primena onoga sa kompleksnim brojevima.

neka je $e^{i{\pi \over 7}}=t$ . Onda je $cos{n {\pi \over 7}}={a^{2n}+1\over 2a^n}$ .
Imamo da je $t^7=-1$
Stavljanjem n=2,4,6 dobijamo:

$cos{2{\pi \over 7}}={a^4+1\over 2a^2}$
$cos{4{\pi \over 7}}={a^8+1\over 2a^4}$
$cos{6{\pi \over 7}}={a^{12}+1\over 2a^6}$ .

Sada je $A=cos{2{\pi \over 7}}+cos{4{\pi \over 7}}+cos{6{\pi \over 7}}={1 \over 2a^6}(a^4(a^4+1)+a^2(a^8+1)+a^{12}+1)$ , pa je $A={1 \over 2a^6}(a^{12}+a^{10}+a^8+a^6+a^4+a^2+1-a^6)={1 \over 2a^6}({a^{14}-1\over a-1}-a^6)$ . Kako je $a^{14}=1$ to je $A={1 \over 2a^6}(0-a^6)=-{1 \over 2}$ .

Prijavite se da biste odgovorili u ovoj temi.Prijava Registracija

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme