Polazeci od identiteta cosx + cosx3x + cos5x +...+cos(2n-1)x = sin2nx/2sinx
Odrediti zbir sinx + 3sin3x + 5sin5x + ... + (2n-1)sin(2n-1)x.
Odrediti zbir sinx + 3sin3x + 5sin5x + ... + (2n-1)sin(2n-1)x.
Izvod slozene funkcije
Zaključano
Zakačeno
Neka su funkcije:
f(x) = cosx + cos3x + ... + cos(2n-1)x
g(x) = sinx + 3sin3x + ... + (2n-1)sin(2n-1)x
Tada je, prema uslovu, funkcija
f(x) = sin2nx / 2sinx,
a funkcija g(x) je trazena funkcija.
Nadjimo prvi izvod funkcije f(x):
f'(x) = -sinx - 3sin3x - ... - (2n-1)sin(2n-1)x = -g(x), pa je
g(x) = - f'(x)
Sa druge strane, prema pravilu o izvodu kolicnika, imamo:
f'(x) = (2n*cos2nx*sinx - sin2nx*cosx)/(2(sinx)^2)
odakle je:
g(x) = (sin2nx*cosx - 2n*cos2nx*sinx)/(2(sinx)^2).
f(x) = cosx + cos3x + ... + cos(2n-1)x
g(x) = sinx + 3sin3x + ... + (2n-1)sin(2n-1)x
Tada je, prema uslovu, funkcija
f(x) = sin2nx / 2sinx,
a funkcija g(x) je trazena funkcija.
Nadjimo prvi izvod funkcije f(x):
f'(x) = -sinx - 3sin3x - ... - (2n-1)sin(2n-1)x = -g(x), pa je
g(x) = - f'(x)
Sa druge strane, prema pravilu o izvodu kolicnika, imamo:
f'(x) = (2n*cos2nx*sinx - sin2nx*cosx)/(2(sinx)^2)
odakle je:
g(x) = (sin2nx*cosx - 2n*cos2nx*sinx)/(2(sinx)^2).