Navigacija
Lista poslednjih: 16, 32, 64, 128 poruka.

Simpatičan zadačić

[es] :: Matematika :: Simpatičan zadačić

[ Pregleda: 2777 | Odgovora: 4 ] > FB > Twit

Postavi temu Odgovori

Autor

Pretraga teme: Traži
Markiranje Štampanje RSS

darkon
Darko Novakovic
Istrazivac, IMP
Beograd

Član broj: 13647
Poruke: 166
*.226.17.bitsyu.net.

Jabber: darkon@elitesecurity.org


+1 Profil

icon Simpatičan zadačić22.10.2005. u 12:58 - pre 183 meseci
Evo jednog simpatičnog zadačića koji je svojevremeno predlagan za zadatak na saveznom takmičenju:
U desetocifrenom broju , je broj nula u dekadnom zapisu tog broja, je jednak broju jedinica u zapisu, itd., je jednak broju devetki. Odrediti taj broj.
"Verovatno da preko nje mnoge sile kontrolišu mnogo šta..." - GANDOR
"Kada bi ljudski mozak bio tako jednostavan da bismo mogli da ga shvatimo, onda bismo mi bili toliko glupi da ga ipak ne bismo mogli shvatiti."
 
Odgovor na temu

cassey
Andreja Ilic
Nis

Član broj: 57788
Poruke: 188
212.200.10.*



+1 Profil

icon Re: Simpatičan zadačić23.10.2005. u 11:49 - pre 183 meseci
Upostenje:
Naci sve konacne nizove $(x_0, x_1, ..., x_n)$, tako da za svako $0 \leq i \leq n$, $x_i$ predstavlja koliko se puta broj $j$ javlja u nizu.

Resenja su:
(2, 0, 2, 0)
(1, 2, 1, 0)
(2, 1, 2, 0, 0)
(k, 2, 1, 0, 0, ..., 0, 1, 0, 0, 0), za $k \geq 3$.

Pozdravce

Math is like love. A simple idea but it can get complicated.
 
Odgovor na temu

uranium
Beograd

Član broj: 60097
Poruke: 543
*.ptt.yu.

Jabber: uranium@elitesecurity.org
ICQ: 324386953


+4 Profil

icon Re: Simpatičan zadačić23.10.2005. u 12:56 - pre 183 meseci
Radi jednostavnosti, koristiću ipak sledeće oznake:
, gde je broj pojavljivanja cifre u dekadnom zapisu traženog broja.
Jasno je da mora biti .

Primetimo zatim da ako je imamo da postoje barem dve različite cifre koje se pojavljuju po puta, ali cifara u zapisu ima samo , pa mora biti tj. .
Drugim rečima, za je .

Ako bi bilo , onda bi postojalo takvo da je . Međutim, ovo poslednje bi značilo da imamo, cifara , pa lako sledi da mora biti (za preostalih ne možemo staviti cifru van skupa , jer nam treba istih cifara, pa zbog sledi da je ). Sada, je lako videti da smo dobili broj koji ne zadovoljava uslove zadatka (npr. dobijamo da je a u zapisu nema ni jedna ) pa je to kontradikcija.
Dakle, mora biti

Ako bi bilo , onda bi postojalo takvo da je . Ovo poslednje implicira postojanje tačno pojavljivanja neke od cifara . Budući da je i po pretpostavci imamo da je i , sledi da moramo staviti da je nekih od cifara međusobno jednako, pa mora biti , a otuda sledi (zbog i ) da u zapisu ipak ne učestvuju samo cifre , što je kontradikcija.
Dakle, mora biti

Ako bi bilo , onda bi postojalo takvo da je . Na osnovu prethodnih zaključaka i na osnovu pretpostavke, važi i , slično kao i ranije zaključujemo da moramo uzeti da je . Međutim, šta god uzeli za , dobićemo da su cifre pozitivne, što znači da cifre nisu jedine u zapisu, a to je kontradikcija.
Dakle, mora biti

Neka je , onda postoji takvo da je . Iz prethodnih razmatranja sledi da je i . Kao i ranije, sledi da je . Ali, ne može biti tj. , jer bi zbog i morali da za preostale cifre stavimo jedinica, što je nemoguće. Dakle, mora biti tj. .
Ostaje nam da otkrijemo cifre . Iz i sledi da su među ciframa tačno tri jednake , tj. tačno dve cifre nisu nula. Kako je iz prethodnog sledi, da je za neke . Sada imamo da je za . Odatle, vidimo da mora biti , jer bi u protivnom dobili da se neka od cifara javlja ili puta (što je kontradikcija).
Sada, je lako proveriti da je i .

Dakle, dobili smo broj .

Dokažimo da je nađeni broj jedinstven.

Za sada znamo da je . Pretpostavimo zato da je .
Očigledno je da je . Međutim, videćemo ubrzo da , što će biti dovoljno za dokaz jedinstvenosti trženog broja.

Ako bi bilo , sledilo bi da postoje dva pojavljivanja cifre u zapisu, što znači da se neke dve različite cifre pojavljuju po puta u zapisu, što je kontradikcija, jer smo dobili da u zapisu učestvuju cifre i .

Ako bi bilo , sledilo bi da postoji takvo da je , kao i ranije, (zbog i ) mora biti . Sada, sledi da je , a pošto je , među sabircima je tačno jedna , onda za neke važi , pa je za . Znači, mora biti (u protivnom bi se neka od cifara javljala puta, što je kontradikcija). E sad, jedina particija broja , koja zadovoljava tražene uslove je , međutim, kako god dodelili te brojeve ciframa i , dobijamo da u zapisu učestvuju ukupno jedinice, a , što je kontradikcija.

Ako bi bilo , sledilo bi , što je u kontradikciji sa .



Bez obzira što je rešenje ovako ružno, mislim da je zadatak fantastičan, jer pokazuje kakvi se perverzni skupovi kriju u .


Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.
 
Odgovor na temu

darkon
Darko Novakovic
Istrazivac, IMP
Beograd

Član broj: 13647
Poruke: 166
*.rcub.bg.ac.yu.

Jabber: darkon@elitesecurity.org


+1 Profil

icon Re: Simpatičan zadačić24.10.2005. u 11:36 - pre 183 meseci
Citat:
cassey: Upostenje:
Naci sve konacne nizove $(x_0, x_1, ..., x_n)$, tako da za svako $0 \leq i \leq n$, $x_i$ predstavlja koliko se puta broj $j$ javlja u nizu.

Resenja su:
(2, 0, 2, 0)
(1, 2, 1, 0)
(2, 1, 2, 0, 0)
(k, 2, 1, 0, 0, ..., 0, 1, 0, 0, 0), za $k \geq 3$.

Pozdravce


Uh, ovo baš nije čitljivo! Mislim da si hteo da kažeš sledeće:

Naći sve konačne nizove , tako da za svako , predstavlja koliko se puta broj javlja u nizu.

Rešenja su:
(2,0,2,0)
(1,2,1,0)
(2,1,2,0,0)
(k,2,1,0,0,...,0,1,0,0,0), za .
"Verovatno da preko nje mnoge sile kontrolišu mnogo šta..." - GANDOR
"Kada bi ljudski mozak bio tako jednostavan da bismo mogli da ga shvatimo, onda bismo mi bili toliko glupi da ga ipak ne bismo mogli shvatiti."
 
Odgovor na temu

vojpet

Član broj: 71833
Poruke: 2
*.ftn.ns.ac.yu.



Profil

icon Re: Simpatičan zadačić24.10.2005. u 20:24 - pre 183 meseci
Neka je trazeni broj. Ocigledno je . Oznacimo sa broj pozitivnih brojeva medju . Tada je

.

Kako je na levoj strani pozitivnih sabiraka ciji je zbir , jedan od njih jednak je 2, dok su preostalih jednaki 1. Iz toga sledi da jedino moze biti . Takodje, ako je za neko , tada je . Takvih je samo jedno i pritom je .

Iz navedenog sledi da je . Nije tesko ustanoviti da su slucajevi i nemoguci. Ostaje .

Neka je , . Tada je . Jedine preostale nenula cifre su i . Mogucnost otpada, jer je vec i .
Trazeni broj ima oblik . S obzirom da je desetocifren, sledi i broj je 6210001000.

Bojan Bašić: popravljen [tex] tag

[Ovu poruku je menjao Bojan Basic dana 29.10.2005. u 13:04 GMT+1]
 
Odgovor na temu

[es] :: Matematika :: Simpatičan zadačić

[ Pregleda: 2777 | Odgovora: 4 ] > FB > Twit

Postavi temu Odgovori

Navigacija
Lista poslednjih: 16, 32, 64, 128 poruka.