f(x)=(x^2-x)exp(-x)
a) Izračunati n-ti izvod od f(x) i n-ti izvod od f(0)
b) Aproksimirati f-ju Maklorenovim polinomom 4. stepena i proceniti grešku aproksimacije na intervalu [-1/10, 1/10].
a) Korišćenjem Lajbnicove formule, relativno lako se dolazi do rešenja, a ono je:
n-ti izvod od f(x) = (-1)^n*(x^2-x)*e^-x+n*(-1)^n-1*(2x-1)*e^-x+n*(n-1)*(-1)^n-2*e^-x
n-ti izvod od f(0) = n^2*(-1)^n
b) Aproksimaciju sam izvršio tako što sam aproksimirao jedan deo funkcije: e^-x i to do drugog stepena jer će proizvod sa (x^2-x) dati 4. stepen, što se traži i konačno rešenje je:
-x+2x^2-3x^3/2+x^4/2+o(x^4),
Ali, ne mogu da se izborim lepo sa procenom greške. Evo kako sam to pokušao:
Koristio sam Lagranžov oblik ostatka, u opštem slučaju za Maklorenov razvoj on izgleda:
Rn(x)=(f^(n+1)(c)/(n+1)!)*x^n+1, a u ovom slucaju n=4, i x je iz [-1/10, 1/10], a c je iz (-1/10, 1/10).
Kada se ovo konačno sredi, bar kod mene, izgleda ovako:
x^5/5!*|e^-c*(-c^2+11c-25)|, x je iz [-1/10, 1/10], a c je iz (-1/10, 1/10).
SAD ide koska (kad treba proceniti od čega je manje !!!:
x^5/5!*|e^-c*(-c^2+11c-25)| <= (1/(5!*10^5))*|e^-c*(-c^2+11c-25)|
I sad konačno treba videti od čega je ovaj poslednji izraz(posle <=) manji, tj. treba videti za koje c je ustvari izraz |e^-c*(-c^2+11c-25)| najveći i dalje je lako, ali to ne mogu da odradim, jer me najviše zeza ovo e^-c ...
Da li bi neko mogao da završi zadatak (i eventualno ga proveri) ? Trebalo bi da je trivijalno, ali ipak koči da ga privršim.
poz.