Navigacija
Lista poslednjih: 16, 32, 64, 128 poruka.

Aproksimacija f-je Maklorenovim polinomom i procena greške

[es] :: Matematika :: Aproksimacija f-je Maklorenovim polinomom i procena greške

[ Pregleda: 5965 | Odgovora: 2 ] > FB > Twit

Postavi temu Odgovori

Autor

Pretraga teme: Traži
Markiranje Štampanje RSS

anon315

Član broj: 315
Poruke: 1657
*.beg.sezampro.yu



+13 Profil

icon Aproksimacija f-je Maklorenovim polinomom i procena greške07.08.2002. u 14:18 - pre 233 meseci
f(x)=(x^2-x)exp(-x)

a) Izračunati n-ti izvod od f(x) i n-ti izvod od f(0)
b) Aproksimirati f-ju Maklorenovim polinomom 4. stepena i proceniti grešku aproksimacije na intervalu [-1/10, 1/10].

a) Korišćenjem Lajbnicove formule, relativno lako se dolazi do rešenja, a ono je:

n-ti izvod od f(x) = (-1)^n*(x^2-x)*e^-x+n*(-1)^n-1*(2x-1)*e^-x+n*(n-1)*(-1)^n-2*e^-x

n-ti izvod od f(0) = n^2*(-1)^n

b) Aproksimaciju sam izvršio tako što sam aproksimirao jedan deo funkcije: e^-x i to do drugog stepena jer će proizvod sa (x^2-x) dati 4. stepen, što se traži i konačno rešenje je:

-x+2x^2-3x^3/2+x^4/2+o(x^4),

Ali, ne mogu da se izborim lepo sa procenom greške. Evo kako sam to pokušao:

Koristio sam Lagranžov oblik ostatka, u opštem slučaju za Maklorenov razvoj on izgleda:

Rn(x)=(f^(n+1)(c)/(n+1)!)*x^n+1, a u ovom slucaju n=4, i x je iz [-1/10, 1/10], a c je iz (-1/10, 1/10).

Kada se ovo konačno sredi, bar kod mene, izgleda ovako:

x^5/5!*|e^-c*(-c^2+11c-25)|, x je iz [-1/10, 1/10], a c je iz (-1/10, 1/10).

SAD ide koska (kad treba proceniti od čega je manje !!!:

x^5/5!*|e^-c*(-c^2+11c-25)| <= (1/(5!*10^5))*|e^-c*(-c^2+11c-25)|

I sad konačno treba videti od čega je ovaj poslednji izraz(posle <=) manji, tj. treba videti za koje c je ustvari izraz |e^-c*(-c^2+11c-25)| najveći i dalje je lako, ali to ne mogu da odradim, jer me najviše zeza ovo e^-c ...

Da li bi neko mogao da završi zadatak (i eventualno ga proveri) ? Trebalo bi da je trivijalno, ali ipak koči da ga privršim.

poz.
 
Odgovor na temu

srki
Srdjan Mitrovic
Auckland, N.Z.

Član broj: 2237
Poruke: 3654
*.verat.net



+3 Profil

icon Re: Aproksimacija f-je Maklorenovim polinomom i procena greške07.08.2002. u 17:58 - pre 233 meseci
Pa nadji prvi izvod od |e^-c*(-c^2+11c-25)| i vidi kada je jednak nuli i to ti je
ekstremna vrednost pa vidi ako je maksimum onda uzmi tu vrednost za c ako je u
intervalu (-1/10, 1/10).

Mada ja mislim da to niko ne trazi tako precizno vec uzmes c da e^-c bude sto vece
pa za ovaj drugi deo |(-c^2+11c-25)| gledaj da bude sto vece.
U ovom slucaju to je i tacno resenje jer je i ovaj drugi deo najveci kada je c=-1/10
tako da nema potrebe da trazis prvi izvod.
Kada nacrtas kako izgleda funkcija |(-c^2+11c-25)|i nadjes pomocu formule za resenja videces da je to najvece za c=-1/10.
Nadam se da nisam bio previse konfuzan.

 
Odgovor na temu

anon315

Član broj: 315
Poruke: 1657
*.beg.sezampro.yu



+13 Profil

icon Re: Aproksimacija f-je Maklorenovim polinomom i procena greške07.08.2002. u 22:25 - pre 233 meseci
Ma nema potrebe za traženjem izvoda, ustvari baš sam se cimao sa tim o čemu si pričao (mislim na odokativnu procenu...), ali je problem što sam došao do zaključka da je najvece za -1/10 korišćenjem digitrona, a to ne sme na ispitu. U svakom slučaju fala, bilo mi je bitno da je generalno dobar zadatak, ovo se kao što smo videli odokativno proceni, kako znaš i umeš i zaključi se tj. proceni greška ...

pozdrav
 
Odgovor na temu

[es] :: Matematika :: Aproksimacija f-je Maklorenovim polinomom i procena greške

[ Pregleda: 5965 | Odgovora: 2 ] > FB > Twit

Postavi temu Odgovori

Navigacija
Lista poslednjih: 16, 32, 64, 128 poruka.