Zadaci sa reg. takmičenja iz matematike

Juče sam bio na regionalnom takmičenju iz matematike (8. razred) i imam neke nedoumice oko zadataka. Voleo bih da probate da rešite ova 3 zadatka:

1. Na stranici AB trougla ABC uočena je tačka D. Neka su r, r1, i r2 redom dužine poluprečnika upisanih kružnica u trouglove ABCm ADC i DBC. Dokazati da je r1 + r2 > r.

2. Odrediti proste brojeve p, q i r tako da važi p + pq + pqr = 2005.

3. Brojevi 1, 2, 3, 4, 5 i 6 mogu se upiati u krugove (vidi sliku) tako da su zbirovi po sva tri pravca međusobno jednaki. Dokazati da je zbir brojeva upisanih u krugove koji čine nacrtani trougao deljiv sa 3.



Pozdrav!

Potpis

Nije znanje samo znati, već je znanje - znanje dati.

Piši ćirilicom! | Surfujte brže, sigurnije i lakše | Najveća niška online zajednica

p+pq+pqr=2005
p(1+q+qr)=2005
Kako je broj 2005=5*401 ,to je p=5 ili p=401. Za p=5 imamo:
5(1+q+qr)=2005
1+q+qr=401
q+qr=400
q(1+r)=400
q moze biti jedino 2 pa je
1+r=200
r=199
Dakle, resenje je p=5,q=2,r=199

Za p=401 na slican nacin se dobija da je 1+q+qr=5,q+qr=4,q(1+r)=4, 1+r=2, ali kako r u tom slicaju nije prost broj, resenja nema.

... ili 5, jos jedno resenje je (5, 5, 79).

Smatram da razlicitim slovima odgovaraju razliciti prosti brojevi, p je 5, tako da za q onda ne mozemo izabrati 5, ostaje da moze biti samo q=2.

Na osnovu čega to možeš da smatraš? Da je u postavci zadatka navedeno "različite proste brojeve" onda bi bilo OK, a zaista nikad nisam čuo da neko smatra da različitim promenljivama moraju da odgovoraju različite vrednosti.

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Da li je neko od vas resio 2. zadatak? U resenju je ponudjeno preko povrsina. Ja mislim da moze i preko slicnosti trouglova.

2.
P[A, B, C] = P[A, C, D] + P[C, D, B], povrsine trouglova
=> r(a + b + c) = r1(b + c1 + s) + r2(a + c2 + s), povrsine napisane u funkciji poluprecnika upisanih krugova i stranica, s = CD, c1 = AD, c2 = DB, c1 + c2 = c

s < b + c1
s < a + c2, nejednakosti trougla (posmatramo trouglove ACD i BCD)

=> r(a + b + c) < r1(b + c1 + a + c2) + r2(a + c2 + b + c1)
=> r(a + b + c) < r1(a + b + c) + r2(a + b + c)
=> r < r1 + r2

Ovo je resenje preko povrsina. Ne znam kako bi islo preko slicnosti, ipak treba uzeti u obzir da je zadatak za osmi razred osnovne skole.

@Hypatia

I ja sam isto tako rešio zadatak jer bi po nekoj logici, različita slova trebala da predstavljaju različite brojeve. Pošto je sa nama u učionici bio i šesti razred, imao sam priliku da pogledam njihove zadatke. I oni su imali jedan sličan zadatak u kojem je jasno pisalo da različita slova mogu da predstavljaju iste brojeve. Trebalo su i to isto da napišu i kod nas.

Ovakvo rešenje su bili istakli odmah po završetku takmičenja. Kada sam se posle vratio, video sam da su prvobitno rešenje prešvrljali i napisali novo sa 2 ili 3 moguća rešenja. Ja mislim da je to veoma neozbiljno od njih.

Potpis

Nije znanje samo znati, već je znanje - znanje dati.

Piši ćirilicom! | Surfujte brže, sigurnije i lakše | Najveća niška online zajednica

Čoveče, ti si osmi razred. Ne sećam se tačno u kom razredu se uče promenljive ali mislim da je negde u prva 4. Ne mogu da verujem (bez uvrede) da si uopšte stigao do Regionalnog takmičenja ako smatraš da različitim promenljivama moraju da odgovaraju različite vrednosti, tako nešto zaista u životu nisam čuo da neko smatra.

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Znaci ti kazes da resenje sistema jednacina:
x+y=2
x*y=1

ne postoji jer ne postoje razliti brojevi x i y koji zadovoljavaju jednacinu?

Sto se odmah ljutite:)


Izvinjavam se na brzopletosti, ali sam na trenutak zaista pomislila obzirom da je u pitanju 8. razred da se traze razliciti prosti brojevi...grese i bolji,recimo DMS.

Pa kažem vam da sam kod jednog zadatka iz šestog razreda video da jasno piše "da različita slova mogu da označavaju iste brojeve" što me je najviše i zbunilo. Takođe, kod svakog zadatka takvog tipa (koje smo vežbali) uvek se naglašavalo to kada je bilo potrebno pa nam je nastavnica i napomenula da, ako se u zadatku niša ne naznači, podrazumeva da se radi o različitim brojevima.

Potpis

Nije znanje samo znati, već je znanje - znanje dati.

Piši ćirilicom! | Surfujte brže, sigurnije i lakše | Najveća niška online zajednica