pomozite,imam problem sa analitickom geometrijom i ....

pomozite,imam problem sa analitickom geometrijom i .... 02.05.2005. u 13:14 · pre 261 meseci #1

moze li mi neko poci oko ova dva zadatka:

ako su x1,x2,x3 rešenja jednačine 8x^3-125=0 onda je x1+x2+x3-x1*x2*x3
moze li ovaj zadatak da se resi na neki drugi nacin osim vietovim formulama..
_& koje resenje vi dobijate ?

2.iz tačke A(4,0) povučene su tetive elipse x^2+4y^2=16. Odrediti geometrijsko mesto sredina tih tetiva..

Re: pomozite,imam problem sa analitickom geometrijom i .... 02.05.2005. u 14:04 · pre 261 meseci #2

1) 8x^3-125=0 <=> x^3-125/8=0
vidimo da je p=0 q=0 r=-125/8 p-koef uz x^2; g-uz x ; r-slob. clan

x1+x2+x3=-p x1*x2*x3=-r
x1+x2+x3=0 x1*x2*x3=125/8

i na kraju x1+x2+x3-x1*x2*x3=0-125/8=-125/8

Re: pomozite,imam problem sa analitickom geometrijom i .... 02.05.2005. u 16:42 · pre 261 meseci #3

Ovako, neka je središte tetive tačka S. Onda su njene koordinate
$x_S = {{x_A+x_M} \over 2}$ i $y_S = {{y_A+y_M} \over 2}$
gde je M proizvoljna tačka na elipsi sa koordinatama
$(x,{\pm {\sqrt{16-x^2} }\over 2})$
Dakle, tačka S ima koordinate $({{x+4}\over 2},{\pm{\sqrt{16-x^2}} \over 4})$ , i to su onda koordinate proizvoljne tačke traženog geometrijskog mesta tačaka.
Da bi smo dobili krivu koja se traži, označićemo $x_S$ sa t.
Onda je $y_S=\pm\sqrt{t-{t^2 \over 4}}$ odnosno koordinate tačke S su
$(t, {\pm\sqrt{t-{t^2 \over 4}})$
Nama treba da predstavimo drugu koordinatu u funkciji prve pa bi odavde, kvadriranjem dobili ${y_S}^2=t-{t^2 \over 4}}$ , a posle preoznačavanja i sredjivanja je
$x^2-4x+4y^2=0$ traženo geometrijsko mesto tačaka što je jednačina elipse sa centrom u tački (2,0), i poluosama a=2, b=1.
Nadam se da nema računskih grešaka...

Ovaj prvi možeš da radiš tako što dati polinom $8x^3-125$ predstaviš kao proizvod $8(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$ , izmnožiš zagrade, izjednačiš odgovarajuće koeficijente i dobiješ, kao što kaže atlas $-125\over 8$ .

Re: pomozite,imam problem sa analitickom geometrijom i .... 04.05.2005. u 02:30 · pre 261 meseci #4

Što se prvog zadatka tiče, ako te zanima izračunavanje izraza bez Viette-ovih formula, lepo izračunaj x₁, x₂, x₃ & mirna Bačka.
Mala naznaka: računanje rešenja, u opštem slučaju, ni najmanje nije lepo ni lako; no u ovom zadatku to jeste lepo & lako.
Lepo & lako za svakog ko je dobar prijatelj sa kompleksnim brojevima, to jest.

Dakle $x_1=\sqrt[3]{\frac{125}{8}}=\frac{5}{2}\quad x_2=x_1 \varepsilon \quad, x_3=x_1 \varepsilon ^2$
gde je
$\varepsilon=e^{\frac{2i\pi}{3}}$
tj $\varepsilon=-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt 3}{2}$ .
Takođe tada je $\varepsilon ^2=-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt 3}{2}$

Kao što znamo $1+\varepsilon +\varepsilon ^2=0 \cr 1\cdot\varepsilon\cdot\varepsilon ^2=\varepsilon ^3=1$
Dakle $x_1+x_2+x_3=0,\quad x_1\vdot x_2\vdot x_3= (\frac{5}{2})^3= \frac{125}{8}$ .

Napominjem, ovo je bilo lepo & lako. Viette daje nešto brže ...
$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}=0\quad x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}=\frac{125}{8}$

Ovde se podrazumeva da imamo j-nu ${\rm a}x^3+{\rm b}x^2+{\rm c} x+{\rm d}=0$

Drugi zadatak je baš leeep.

No, sad vidim da ga je lampica uradila tačno, mada za nijansu zakomplikovano.

Code:

@ lampica
Nisi trebala da stavljaš x=t, jer to stvarno neme nikakve veze ni sa čim.
Ovako si uradila na jako dobar način, primećujući da je A na početnoj elipsi,
a da M može biti bilo koja druga tačka na elipsi.

Ako neko ne vidi sve ovo, taj mora da (što se kaže) seče drva sekirom (tj da učestvuje u dugom & dosadnom poslu računa bez ikakvog učestvovanja mozga)

Daklem, evo cepanja drva

Pretpostavimo da je t:y=k(x-4) jednačina tetive.(bez obzira na k, ova prava sigurno prolazi kroz A) Ubacimo to u jednačinu elipse, da bismo dobili x_{1, 2}.

$x^2+4k^2(x-4)^2=16\quad\dots\quad (4k^2+1)x^2-32k^2x+64k^2-16=0$

Primenimo $Viett\'e-ova$ pravila da izračunamo
$X=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{32k^2}{2(4k^2+1)}=\frac {16k^2}{4k^2+1}$

Pošto je $y_1=k(x_1-4)\quad $ i $\quad y_2=k(x_2-4)$ , vidimo da je i
$Y=\frac{y_1+y_2}{2}=k(\frac{x_1+x_2}{2}-4)=k(X-4)=\dots =\frac{4k}{4k^2+1}$

Eh, sad treba izbaciti to k.

$\frac{X}{Y}=\frac{\frac{16k^2}{4k^2+1}}{\frac{4k}{4k^2+1}}=4k$
Zamenimo sve to npr u Y.
$Y=\frac{4\frac{X}{4Y}}{4(\frac{X}{4Y})^2+1}= \frac{\frac{X}{Y}}{\frac{X^2}{4Y^2}+1} \cr =\frac{4XY^2}{Y(X^2+4Y^2)}= \frac{4XY}{X^2+4Y^2}$
Dakle $Y=\frac{4XY}{X^2+4Y^2} \quad \Leftrightarrow \quad 1=\frac{4X}{X^2+4Y^2}$ , tj $X^2-4X+4Y^2=0\quad \Leftrightarrow \quad (X-2)^2+4Y^2=4$

Dakle rešenje:
Centri datih tetiva pripadaju elipsi, kojoj je centar C(2, 0), a poluose su a=2, b=1. Ova elipsa prolazi kroz centar početne elipse, kao i kroz A. Štaviše, to su joj temena.

Srodne teme