Teorema. Ako je
raširenje polja, tada svi elementi u
koji su algebarski na
formiraju polje.
(a) Prvi način. Neka je
. Imamo da je
, odnosno posle kvadriranja
. Sada sređivanjem dobijamo
. Posle kvadriranja, dobijamo:
, odnosno
. Da li je
minimalni polinom za
, da li je
algebarski stepena
na
, odnosno
? Zaista, jasno je da je
nula ovog polinoma, jer je konstruisan tako da je
. Takođe, on je i nerastavljiv na
što se dokazuje posle ne tako malo računa, pa je odgovor na prethodna pitanja potvrdan.
Drugi način. Pošto su
i
algebarski na
, kao rešenja jednačina
i
, to je i
algebarski na
.
(b) Prvi način. Neka je
. Neka je
, tada imamo da važi:
.
Posmatrajmo polinom
. Lako se uočava po Ejzenštajnovom kriterijumu da je ovaj polinom nerastavljiv na
. Pošto je moničan i nerastavljiv, on je i minimalni polinom za
. Imamo da je
algebarski na
stepena
, a da je njegov minimalni polinom
, odnosno da je stepen generisanog raširenja
.
Drugi način. Pošto su
i
algebarski na
, kao rešenja jednačina
i
, to je i
algebarski na
.
(g) Neka je
algebarski na
, tada je i
takođe algebarski. Po teoremi, tada je i
takođe algebarski, što je kontradikcija. Ovde se pozivamo na činjenicu da je
transcendentan.
(đ) Neka je
algebarski. Očigledno je
, odnosno
takođe algebarski, što je naravno kontradikcija.
Kada budemo vešali kapitaliste oni će nam prodati uže koje ćemo koristiti za vešanje.
Josif Visarionovič Džugašvili
Sergej Ejzenštajn
;
;
;
.
Registrovani: 0 ( 0 )