Nestandardna analiza ima istu snagu kao standardna (preko epsilon-delta računa). Postoji princip prenosa kojim se svako standardno rešenej transformiše u nestandardno i obrnuto.
Standardna analiza nema beskonačno male, niti beskonačno velike veličine jer su sa epsilon-delta računom nepotrebne. Zasniva se na polju realnih brojeva koje nema beskonačno male i beskonačno velike veličine.
Polje realnih brojeva se uvodi aksiomatski. Postoje aksiome uređenog polja i aksiome neprekidnosti. Zajedno imaju tačno jedan model do na izomorfizam i to je polje realnih brojeva.
Aksiome neprekidnosti imaju razne ekvivalentne formulacije.
Arhimedova aksioma (prestiživosti) uz aksiome uređenog polja je ekvivalentna tome da se to polje može utopiti u R. Pritom, se proizvoljno uređeno polje može utopiti u R na najviše jedan način. Dakle, uz arhimeda može na tačno jedan način. Do na izomorfizam, arhimedovska polja su tačno potpolja od R. Ipak, ovde je značajnije drugo tumačenje te aksiome. Ona je ekvivalentna nepostojanju beskonačno malih veličina.
Kada Arhimedovoj aksiomi dodamo Kantorovu aksiomu (o umetnutim odsečcima) daje punu aksiomatizaciju polja realnih brojeva.
Dakle, negacija Arhimedove aksiome je ekvivalentna tome da sledeći beskonačan niz formula ima rešenje:
.
Priemtimo da u polju realnih brojeva svaki konačan podskup navedenog skupa formula ima rešenje, ali da ceo beskonačan skup navedenih formula nema rešenje.
Svaka aksioma je nekakav alat. U nestandadnoj analizi smo se odrekli Arhimedove aksiome, pa nam treba nekakva kompenzacija u vidu nekog principa koji ne možemo imati zajedno sa Arhimedovom aksiomom jer ako ih možemo imati zajedno, koristićemo ih zajedno, to jest ne bismo se odricali Arhimedove aksiome zbog nečega što možemo imati zajedno sa njom.
Kompenzaciju imamo u principu prebrojive zasićenosti. Za ma koji konačan niz promenljivih
i ma koji beskonačan niz uslova po njima
važi sledeće:
Ako svaki konačno mnogo od tih uslova ima rešenje, onda ceo niz uslova ima rešenje.
Pritom se skup uslovs mora ograničiti. Na početku imamo sledeće:
Izraze formiramo od operacijskih znakova (na početku za sabiranje i množenje), promenljivih i konstanti (na početku realnih). Na početku su to samo polinomi.
Osnovni uslovi su da je neki izraz veći od nule ili da je veći ili jednak ili jednak. Svi se mogu izraziti preko veće ili preko veće ili jednako.
Uslovi se mogu bulovski kombinovati (i ili ne).
Uslovi se mogu kvantifikovati kvantorima "za svaki" i "postoji" koji se odnose na veličine (sve i konačne i beskonačno velike i male), ali ne na operacije i relacije.
Dakle, možemo napisati "za svako x postoji y tako da važi U(x,y,z)", gde je U neki uslov i to će na kraju biti uslov po z.
Možemo i prenosit operacije i relacije iz standardne analize u nestandardnu. Recimo, sinus je jedna unarna operacija, dok je "m je ceo broj manji od celog broja n" binarna relacija. Prilikom prenošenja, prenosimo sve uslove koji važe za njih i tako proširujemo jezik primenjujući princip prebrojive zasićenosti i princip daljeg proširivanja jezika i na dobijjeno proširenje.
Sinus se u nestandardnoj analizi odnosi i na beskonačno male i velike veličine, a po zakonitostima prenosa i prebrojive zasićenosti.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
Re: ms matematika....
