Analiza zadatakkkkk

Analiza zadatakkkkk 05.02.2014. u 14:52 · pre 155 meseci #1

Da li bi mi neko mogao pomoći da riješim ovaj zadatak?

Ne znam baš fino da to ovde otkucam, pa sam slikala...

Može li mi neko pomoći? Hvala puno.

[url=https://static.elitesecurity.org/uploads/3/4/3406447/mmmmmmmmmm.jpg]

Potpis

Follow your dreams, they know the way...

mmmmmmmmmm.jpg92.79k

Re: Analiza zadatakkkkk 05.02.2014. u 18:43 · pre 155 meseci #2

Ako je konveksna, onda je svaka od funkcija

$g(t)=f(k_1t+a_1,\dots,k_nt+a_n)$

konveksna, pa je $g''(t)\geq 0$ , odnosno

$0\leq(f(k_1t+a_1,\dots,k_nt+a_n))''=(\sum_j\partial_jf(k_1t+a_1,\dots,k_nt+a_n)k_j)'=\sum_i\sum_j\partial_{i,j}f(k_1t+a_1,\dots,k_nt+a_n)k_ik_j$ ,

odnosno

$\sum_i\sum_j\partial_{i,j}f(a_1,\dots,a_n)k_ik_j\geq 0$ .

Drugim rečima, funkcija

$\varphi(x_1,\dots,x_n)=\sum_i\sum_j\partial_{i,j}f(a_1,\dots,a_n)x_ix_j$

je pozitivno poludefinitna u tački $(0,\dots,0)$ , pa je na osnovu Silvesterovog kriterijuma, poyitivno poludefinitna Silvesterova matrica funkcije $\varphi$ u tački $(0,\dots,0)$ , koja je jednaka Silvesterovoj matrici funkcije $f$ u tački $(a_1,\dots,a_n)$ .

Pretpostavimo pozitivnu poludefinitnost Silvesterove matrice funkcije $f$ na oblasti $\Delta$ . Izaberimo ma koje tačke $(a_1,\dots,a_n)$ i $(b_1,\dots,b_n)$ i ma koje $\lambda\in(0,1)$ . Neka je $k_i=b_i-a_i$ . Za funkciju

$h(t)=f(k_1t+a_1,\dots,k_nt+a_n)$

važi

$h''(t)=(f(k_1t+a_1,\dots,k_nt+a_n))''=(\sum_j\partial_jf(k_1t+a_1,\dots,k_nt+a_n)k_j)'=\sum_i\sum_j\partial_{i,j}f(k_1t+a_1,\dots,k_nt+a_n)k_ik_j$ .

Na osnovu Silvesterovog kriterijuma, za svako $t$ je funkcija

$\psi(x_1,\dots,x_n)=\sum_i\sum_j\partial_{i,j}f(k_1t+a_1,\dots,k_nt+a_n)x_ix_j$

pozitivno poludefinitna, pa je nenegativna, pa je $h''\geq 0$ , pa je funkcija $h$ konveksna, a samim tim i $f$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

1

Re: Analiza zadatakkkkk 06.02.2014. u 12:27 · pre 155 meseci #3

Hvala Vam puno.
Samo da pitam za ovo što ste pisali $(\sum_{j} \partial_j f (k_1t+a_1,...,k_nt+a_n)k_j)'$ .. Je li to u stvari $(\sum_{j=0}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_j} (k_1t+a_1,...,k_nt+a_n)k_j)'$ ?

I, ovo $\sum_{i}\sum_{j} \partial_{i,j} f (k_1t+a_1,...,k_nt+a_n)k_i k_j$ je li $\sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i \partial x_j} (k_1t+a_1,...,k_nt+a_n)k_i k_j$ ?

Potpis

Follow your dreams, they know the way...

Re: Analiza zadatakkkkk 06.02.2014. u 12:52 · pre 155 meseci #4

Da.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme