Hilbertov prostor i integrali

Hilbertov prostor i integrali 30.12.2012. u 12:30 · pre 168 meseci #1

Molio bih pomoc oko sljedeceg zadatka:
Naci:
$\min_{a,b,c\in{C}}\int _{0} ^{\infty} | a+bx+cx^2+x^3|^2 e^{-x}dx$
Ovdje (cini mi se )ovo $e^{-x}$ tezinska funkcija(ako sam u pravu)...
Sada sam gledao $min_{g\in{Lin(1,x,x^2)}}||x^3-g(x)||$ ...
Pa sam $x^3$ preko tm.o ortoprojekciji razlozio na zbir vektora u ovom linealu i vektora na njegovom ortoprojektu...
Sad sam nasao sistem jednacina pa a,b,c ali to je toliko ruzno rijesenje da se pitam da li se
radi uopste ovako...
Pa molim pomoc ako moze...
Hvala...

Re: Hilbertov prostor i integrali 30.12.2012. u 14:00 · pre 168 meseci #2

Ja bih to napisao kao

$a=a_1+a_2i$ , $b=b_1+b_2i$ , $c=c_1+c_2i$ , gde su $a_i,b_i,c_i\in R$ , pa bih izrazio

$|(a_1+b_1x+c_1x^2-x^3)+(a_2+b_2x+c_2x^2)i|^2=(a_1+b_1x+c_1x^2-x^3)^2+(a_2+b_2x+c_2x^2)^2=(a_1^2+a_2^2)+2(a_1b_1+a_2b_2)x+\cdots+x^6$ ,

pa bih izračunao koliko je $\int_0^\infty x^ke^{-x}\,dx$

(to je $(k-1)!$ ) i na kraju video šta je integral u zavisnosti od 6 parametara itd.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Hilbertov prostor i integrali 30.12.2012. u 23:17 · pre 168 meseci #3

Dobija se da je inegral kvadratna funkcija po $a_1,\dots,c_2$ čiji se minimum nalazi rešavanjem sistema linearnih jednačina koje se dobijaju izjednačavanjem parcijalnih izvoda sa nulom. Konačno rešenje je

$a=6$ , $b=-18$ , $c=9$ .

Mogao si i odmah da računaš parcijalne izvode diferenciranjem integrala po parametrima $a_1,\dots,c_2$ . Najmanja vrednost integrala je $684$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Hilbertov prostor i integrali 31.12.2012. u 08:10 · pre 168 meseci #4

Da li Parcijalnih izvoda po $\partial a_1,...,c_2$ od onog gore izraza
$(a_1^2+a_2^2)+2(a_1b_1+a_2b_2)x+\cdots+x^6$ ???

Kako to opravdavam???(pretpostavljam konveksnoscu funkcije i minimumom)

Re: Hilbertov prostor i integrali 31.12.2012. u 09:54 · pre 168 meseci #5

Parcijalni izvod integrala po $a_1,\dots,c_2$ kao parametrima.

Taj parametarski integral je svakako polinom stepena dva po parametrima. Stoga on ne može imati i lokalni minimum i lokalni maksimum. Obzirom da ima lokalni minimum, taj minimum je i globalni (svojstvo kvadratnih formi).

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Hilbertov prostor i integrali 31.12.2012. u 10:44 · pre 168 meseci #6

Hvala puno...

Srodne teme