Funkcionalna analiza-Banahovi prostori...

Odgovori Nova tema

2 odgovora
2.680 pregleda

Funkcionalna analiza-Banahovi prostori... 29.11.2012. u 15:22 · pre 169 meseci #1

Molio bi za pomoc oko sljedeceg zadatka
Neka je N normiran prostor.
Pokazati sljedece:
N je Banahov akko je je njegov metricki potprostor A={x iz N:||x||=1} je kompletan.

Smijer => je jasan jer je ovo zatvoren potprostor Banahovog=> on je i sam Banahov.
<= imam ideju ali nikako da dodje m do raazultata:
Uzmem neki niz x_n koji je Kosijev i normiram ga....Naravno on je podskup A. I ima konvergentan podniz...
Kako da to povezem sa pocetnim nizom?????
Zahvaljujem na svakoj pomoci...

Re: Funkcionalna analiza-Banahovi prostori... 29.11.2012. u 16:05 · pre 169 meseci #2

Prvo, ako imaš Košijev niz $x_n$ koji divergira, onda postoji neko $a>0$ takvo da su svi članovi niza počev od nekog mesta po normi veći od $a$ . Onda pređeš na podniz onih koji imaju normu veću od $a$ i on će biti Košijev i divergentan. Razmotri niz $y_n=x_n/||x_n||$ . On će takođe biti Košijev jer

$|y_m-y_n|=|x_m/|x_m|-|x_m|/|x_n|\cdot x_n|/|x_m|=|x_m-x_n+(1-|x_m|/|x_n|)x_n|/|x_m|\leq\frac{|x_m-x_n|}{|x_m|}+(1-|x_m|/|x_n|)|x_n|/|x_m|\leq|x_m/x_n|/a+|x_m-x_n|=|x_m-x_n|(1+1/a)$ .

On je naravno konvergentan. Recimo da konvergira ka $y$ . Obzirom da je niz $|x_n|$ Košijev zbog

$||x_m|-|x_n||\leq|x_m-x_n|$

i da je konvergentan jer se nalazi u kompletnom polju skalara, postoji neko $r\geq a$ kome on teži. Dokažimo da će $ry$ biti limes niza $x_n$ .

$|ry-x_n|\leq r|y-y_n|+|ry_n-x_n|\leq r|y_n-y|+|(r/|x_n|-1)|\cdot|x_n|$ .

Kada $n\rightarrow\infty$ ovo teži nuli jer je niz $x_n$ ograničen kao Košijev.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Funkcionalna analiza-Banahovi prostori... 29.11.2012. u 16:37 · pre 169 meseci #3

Zahvaljujem puno...

Prijavite se da biste odgovorili u ovoj temi.Prijava Registracija

Srodne teme