Nekoliko zadataka gde malo zapinje...

Nekoliko zadataka gde malo zapinje... 29.06.2011. u 14:39 · pre 186 meseci #1

Vezbao sam razne zadatke iz matematike i naisao sam na par njih koje nisam znao da resim. Izbacicu sve zadatke u ovoj temu, da ne bihspamovao sa temama.

1. Nije zadatak, vec pitanje. Imam izraz $3 - 2\cdot \sqrt{2}$ , hocu da ga napisem u obliku proizvoda. Moze da se napise kao $(\sqrt{2} -1)^2$ i kao $(1 - \sqrt{2})^2$ Kada se izracuna, vrednost ova dva kvadrata je ista jer je $(-0.41)^2 = 0.41^2$ . Mene zanima, je li ispravno ako se upotrebi jedan ili drugi kvadrat, ili je jedan od ovih koje sam naveo netacan?

2. Jednacina $\frac{2a-5}{(a-1)(z+2)} - \frac{3}{z+1} = \frac{3z+4}{z^2+3z+2}$ ima jedinstveno resenje za:
A) $a = 1$ B) $a\neq 1$ C) $a\neq \frac{1}{4}$ D) $a\neq 1 , a\neq \frac{1}{4}$ E) $a = \frac{1}{4}$
Pokusao sam da uradim ovaj zadatak, $z^2 + 3z + 2 = (z + 1)\cdot( z + 2)$ , sredio sam ovaj izraz i onda dobijem $5z + 5 - 4az - 8a = 0$ Kako dalje?

3.Ako je $a > b \ge 0$ , skup resenja nejednacine $ax + \frac{b}{x} < a + b$ je...? Nemam ideju kako bih uopste mogao da uradim ovaj zadatak, moze mala pomoc. Ne da mi resavate ceo zadatak.

4.U skupu kompleknih brojeva resiti jednacinu:
$z \cdot |z| + 4 \cdot z + 5 \cdot \overline z + 2i = 0$ . Kada sredim ovu jednacinu, zamenim $z = x + yi, \overline z = x - yi, |z| = \sqrt{ x^2 + y^2 }$ , dobijem dosta komplikovan izraz sa $x^2, x^3, y^2...$

Toliko od mene, hvala unapred!

Potpis

"Nije mi žao što su ukrali moje ideje, već što nisu imali svoje." Nikola Tesla

Re: Nekoliko zadataka gde malo zapinje... 29.06.2011. u 14:58 · pre 186 meseci #2

1. pa oba su tacna, izvuces - ako hoces kod jednog dva puta i dobijes drugi, msm, to ti je sve isto

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: Nekoliko zadataka gde malo zapinje... 29.06.2011. u 15:23 · pre 186 meseci #3

2. Jednačina $5z + 5 - 4az - 8a = 0$ je ekvivalentna sa $(5-4a)z=8a-5$ . Ako je $a=5/4$ , onda nema rešenja, jer se svodi na $0=-3$ . U suprotnom ima jedinstveno rešenje. Međutim, ti si omanuo u računu. Tačan odgovor je pod D.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Nekoliko zadataka gde malo zapinje... 29.06.2011. u 15:57 · pre 186 meseci #4

$\frac{2a-5}{(a-1)(z+2)} - \frac{3}{z+1} = \frac{3z+4}{z^2+3z+2}$
$\frac{2a-5}{(a-1)(z+2)} - \frac{3}{z+1} - \frac{3z+4}{(z+1)(z+2)} = 0$
$\frac{(2a-5)(z+1) -3\cdot(a-1)(z+2) - (3z+4)(a-1)}{(a-1)(z+2)(z+1)} = 0 / \cdot (a-1)(z+2)(z+1)$
$2az + 2a - 5z - 5 - 3\cdot ( az + 2a - z -2 ) -3za + 3z - 4a + 4 = 0$
$2az + 2a - 5z - 5 - 3az - 6a + 3z + 6 - 3za + 3z - 4a + 4 = 0$
$5 - 4az - 8a - 5z = 0$
Jedina greska koji sam pronasao jeste da treba $-5z$ ... Nedeljko, mozes li mi reci gde gresim?

Potpis

"Nije mi žao što su ukrali moje ideje, već što nisu imali svoje." Nikola Tesla

Re: Nekoliko zadataka gde malo zapinje... 29.06.2011. u 16:11 · pre 186 meseci #5

Treba da dobijes $-4az-8a+z+5=0$ (tebi je $-5z+3z+3z = -5z$ :))

I sad ovo malo transformises u $(1-4a)z=8a-5$ , a odatle sledi $1-4a\neq0 \Rightarrow a\neq \frac{1}{4}$ , a iz $a-1\neq 0 \Rightarrow a\neq 1$

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: Nekoliko zadataka gde malo zapinje... 29.06.2011. u 16:27 · pre 186 meseci #6

4. Rešenje je $z=-2i$ .
Nemam sad vremena. Kasnije ću napisati postupak.

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Re: Nekoliko zadataka gde malo zapinje... 29.06.2011. u 16:38 · pre 186 meseci #7

$\frac{2a-5}{(a-1)(z+2)} - \frac{3}{z+1} = \frac{3z+4}{z^2+3z+2}$
${(2a-5)\cdot(z+1)-3\cdot(a-1)\cdot(z+2) \over (a-1)\cdot(z+2)\cdot(z+1)}={(3z+4)\over (3+1)\cdot(z+2)}$
$az-4a-2z+1=3az-3z+4a-a$
$-4az-8a+z+5=0$

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

Re: Nekoliko zadataka gde malo zapinje... 29.06.2011. u 17:26 · pre 186 meseci #8

4. $z = x + i y, \overline z = x - i y, |z| = \sqrt{ x^2 + y^2 }$

$z |z| + 4 z + 5 \overline z + 2i = 0$

$(x + i y)\sqrt{ x^2 + y^2 } +4(x + i y)+5(x + i y)+2i=0$

$x \sqrt{ x^2 + y^2 } +9x+i y\sqrt{ x^2 + y^2 }-i y+2i=0$

$x (\sqrt{ x^2 + y^2 } +9)+i y(\sqrt{ x^2 + y^2 }-1)=0-2i$

$x (\sqrt{ x^2 + y^2 } +9)=0\hspace{2mm}\land \hspace{2mm}y (\sqrt{ x^2 + y^2 }-1)=-2$

$x=0\land y (|y|-1)=-2$

$x=0\land y |y|-y+2=0$

$y |y|-y+2=0$

$y\geq 0 \land y^2-y+2=0$

$y\geq 0 \land y_1,y_2\not\in\mathbb{R}$

$y< 0 \land -y^2-y+2=0$

$y< 0 \land (y_1=1\lor y_2=-2)\Longrightarrow y=-2$

Konačno $z=-2i$

Napomena:
$\sqrt{ x^2 + y^2 } +9=0$ nema rešenja jer je $|z|$ uvek pozitivan.

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Re: Nekoliko zadataka gde malo zapinje... 29.06.2011. u 18:16 · pre 186 meseci #9

3.
$a x+\frac{b}{x}<a+b,\hspace{2mm} a>b\geq 0,\hspace{2mm} x\neq 0$

$\frac{a x^2+b}{x}-a-b<0$

$\frac{a x^2+b-a x-b x}{x}<0$

$\frac{a x^2-(a+b) x+b}{x}<0$ (1.1)

$a x^2-(a+b) x+b=0$

$x_{1,2}=\frac{a+b\pm\sqrt{a^2+2ab+b^2-4ab}}{2a}$

$x_{1,2}=\frac{a+b\pm\sqrt{a^2-2ab+b^2}}{2a}$

$x_{1,2}=\frac{a+b\pm(a-b)}{2a}$

$x_1=\frac{a+b+a-b}{2a}=1$

$x_2=\frac{a+b-a+b}{2a}=\frac{b}{a}$

$a x^2-(a+b) x+b=a(x-1)(x-\frac{b}{a})$

$(1.1)\Longleftrightarrow \frac{a(x-1)(x-\frac{b}{a})}{x}<0$

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \square & \square & 0 & \square & \frac{b}{a}<1 & \square & 1 & \square \\ \hline x-1 & - & | & - & | & - & 0 & + \\ \hline x-\frac{b}{a} & - & | & - & 0 & + & | & + \\ \hline x & - & 0 & + & | & + & | & + \\ \hline f(x) & - & | & + & | & - & | & + \\ \hline \end{array}$

$x\in (-\infty,0)\cup (\frac{b}{a},1)$

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Re: Nekoliko zadataka gde malo zapinje... 29.06.2011. u 20:15 · pre 186 meseci #10

Srdjane, hvala puno! :) 3. zadatak sam uspeo u medjuvremenu da uradim. Nisam radio kao ti, dobio sam isto resenje. Sredi se samo ova nejednacina, prebaci se sve na levu stranu i dobijem $\frac {(ax - b)(x-1)}{x} < 0$ ... Ja ovakve nejednacine radim preko grafika, ne postavljam uslove. Lakse mi je i preglednije. U svakom slucaju, hvala!

Potpis

"Nije mi žao što su ukrali moje ideje, već što nisu imali svoje." Nikola Tesla

Re: Nekoliko zadataka gde malo zapinje... 29.06.2011. u 20:32 · pre 186 meseci #11

Ladno sam zakomplikovao sad vidim.
Nisam razmišljao da može da se rastavi tako.

$ax-a<b-\frac{b}{x}$

$a(x-1)-b\frac{x-1}{x}<0$

$(x-1)(a-\frac{b}{x})<0$

$\frac{(x-1)(ax-b)}{x}<0$

Ali da je bilo $ax+\frac{b}{x}<2a+b$
Ne bi moglo kao ovo iznad.

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Re: Nekoliko zadataka gde malo zapinje... 29.06.2011. u 20:42 · pre 186 meseci #12

Nije lose uraditi zadatak na vise nacina... Imam jos jedan zadatak.

Iz uslova $x > 0, y > 0, z > 0, \frac{z}{x+y} = 2 , \frac{z}{y-x}=3$ sledi:
$A) x=z, B) x>z, C) x<z, D) x \le z, E) x \ge z$
Pokusavao sam da kombinujem ove dve jednakosti, da ih uprostim, pa da zamenim nesto iz nejednakosti, ali nisam uspeo...

Potpis

"Nije mi žao što su ukrali moje ideje, već što nisu imali svoje." Nikola Tesla

Re: Nekoliko zadataka gde malo zapinje... 29.06.2011. u 20:52 · pre 186 meseci #13

$z=2(x+y),z=3(y-x)\Rightarrow 2x+2y=3y-3x\Rightarrow x=\frac{1}{5}y\Rightarrow z=2(\frac{1}{5}y+y)=\frac{12}{5}y\Rightarrow z>x$

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: Nekoliko zadataka gde malo zapinje... 29.06.2011. u 21:11 · pre 186 meseci #14

@Sonec

Zar nije $z=\frac{12}{5}y\Rightarrow z>y(>0)$ ?

$x=\frac{1}{5}y\Rightarrow y>x (y-x\not= 0)$ .

Odatle, $z=2x+2y>2x+2x=4x\Rightarrow z>x(>0)$ .

Re: Nekoliko zadataka gde malo zapinje... 29.06.2011. u 22:05 · pre 186 meseci #15

Pa dobro, ja sam sve izrazavao u odnosu na $y$ , ti si dobio $z$ preko $x$ (poredbeni kriterijum), al sve u svemu, oba nacina su tacna i daju isti rezultat.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: Nekoliko zadataka gde malo zapinje... 29.06.2011. u 22:44 · pre 186 meseci #16

Napisao si $x=\frac{1}{5}y\Rightarrow z=\frac{12}{5}y\Rightarrow z>x$ .

Da li je ovo tačno?

Nisi se dobro izrazio. Bilo bi tačno da si umjesto prve implikacije stavio konjukciju.

Re: Nekoliko zadataka gde malo zapinje... 29.06.2011. u 22:56 · pre 186 meseci #17

Pa dobro, da, bilo bi tacno sa konjukcijom, al ja sam to pisao u zurbi i nisam nesto posebno obracao paznju na logicke veznike, bicu obazrijivi sledeci put....

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Srodne teme