Kompleksna integracija

Kompleksna integracija 02.06.2010. u 15:27 · pre 199 meseci #1

Kako resiti ovaj integral metodama kompleksne analize:

$\int_{-\infty}^\infty e^{ixy} \frac{\sin^2 x}{x^2}\,dx$

Imam upustvo da treba posmatrati kompleksnu funkciju $h(z)=e^{iaz}\frac{1-e^{2iz}}{z^2}$ , ali ponovo ne uspevam da dodjem do resenja. Ko zna ili misli da zna nek priskoci u pomoc :)).

Re: Kompleksna integracija 03.06.2010. u 14:02 · pre 199 meseci #2

Garant si se obradovala kad si vidjela da ti je neko odgovorio, ali nazalost slijedi razocaranje :)

Naime, prije nego krenemo u rjesavanje moram pitati - je li tebi problem bas konkretno ovaj integral ili opcenito nemas ideju kako rjesavati integrale na taj nacin?

Jer prema tonu tvog posta cini mi se da se radi o ovom zadnjem, a u tom slucaj bi sigurno bilo svrsishodnije prouciti metodu na nekim jednostavnijim primjerima, odnosno uputiti te na dijelove iz literature u kojima se obradjuje ta metoda, pa se onda vratiti rjesavanju ovog zadatka.

Ukoliko je pak problem bas ovaj integral, onda naravno ima smisla, pa eto ocekujem tvoj odgovor uz isprike ako sam pogresno procijenio tvoje pitanje.

Potpis

while(sleeping) cat_wails(); wake_up(); for(int i=0;i<9;i++) shoot_cat(); rejoice();
goto(bed);

Re: Kompleksna integracija 03.06.2010. u 15:55 · pre 199 meseci #3

Do skoro nisam imala pojma kako resavati integrale na taj nacin, ali sam se bacila u istrazivanje. Skontala sam nacin resavanja na primerima tipa $\int_0^\infty\frac{\sin^2 x}{x^2}$ , $\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}$ i jos nekim primerima sa eksponencijalnim funkcijama. Odredim singularitete f-je h, nadjem odgovarajucu zatvorenu konturu i krivolinijski integral po njoj je 0. Integral po konturi se sastoji od nekoliko integrala po pojedinim njenim delovima. Neki od tih delova kad se saberu treba da daju ovaj integral koji se trazi. Od nule oduzeti integral po ostatku konture (racuna se primenom racuna ostataka) i rezultat je trazeni integral. Znaci imam konkretno problem sa ovim integralom, sto je verovatno posledica neuvezbanosti. Ili biram pogresnu konturu, ili pravim gresku prilikom racuna, ili je nesto trece :)). Svakako ima smisla raditi ovde ovaj integral, bice mi od velike koristi jer mi treba za Furijeovu transformaciju $\theta$ faktora.

Re: Kompleksna integracija 03.06.2010. u 18:13 · pre 199 meseci #4

Napisi neki svoj postupak. Dokle si stigla i gde je zapelo!

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Kompleksna integracija 03.06.2010. u 21:33 · pre 199 meseci #5

Petarm, sto me mucis :).

Atasovala sam fajl u kome sam nacrtala kako izgleda kontura. Podebljanom linijom je oznacena kontura po kojoj racunam integral.

$I=\int_{-R}^{-r} e^{iax}\frac{1-e^{2ix}}{x^2}\,dx+\int_{C_r}e^{iaz}\frac{1-e^{2iz}}{z^2}\,dz+\int_r^R e^{iax}\frac{1-e^{2ix}}{x^2}\,dx+\int_{C_R}e^{iaz}\frac{1-e^{2iz}}{z^2}\,dz=0$

Integracija po $C_r$ je u smeru kretanja kazaljke na satu, a po $C_R$ u suprotnom smeru od smera kretanja kazaljke na satu.

$I_4=\int_{C_R}e^{iaz}\frac{1-e^{2iz}}{z^2}\,dz=\int_0^\pi e^{iaRe^{it}}\frac{1-e^{2iRe^{it}}}{R^2e^{2it}}Rie^{it}\,dt=\int_0^\pi i e^{iaRe^{it}}\frac{1-e^{2iRe^{it}}}{Re^{it}}\,dt$ jer je na $C_R$ $z=Re^{it}, t\in[0,\pi]$

Dalje imamo da vazi: $|I_4|=\left|\int_0^\pi i e^{iaRe^{it}}\frac{1-e^{2iRe^{it}}}{Re^{it}}\,dt\right|\leq \int_0^\pi \left|i e^{iaRe^{it}}\frac{1-e^{2iRe^{it}}}{Re^{it}}\right|\,dt\leq\int_0^\pi\frac{1+|e^{2iRe^{it}}|}{R}\,dt=\int_0^\pi\frac{1+e^{-2R\sin t}}{R}\,dt\leq\int_0^{\pi}\frac{1+1}{R}\,dt=\frac{2}{R}\pi\$

Koristi se da je $|e^{2iRe^{it}}|=|e^{2iR(\cos t+i\sin t)}|=|e^{2iR\cos t}\cdot e^{-2R\sin t}|=e^{-2R\sin t}\leq 1$ jer je $\sin t>0$ i R>0.

Sad imamo da je $\lim_{R\rightarrow+\infty} I_4=\lim_{R\rightarrow+\infty}\frac{2\pi}{R}=0$

Sad treba sabratai integrale $I_1=\int_{-R}^{-r} e^{iax}\frac{1-e^{2ix}}{x^2}\,dx$ i $I_3=\int_r^R e^{iax}\frac{1-e^{2ix}}{x^2}\,dx$ tako da se u njihovom zbiru pojavi $e^{iax}\frac{1-\cos 2x}{x^2}$ jer je $sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ . Ja uvedem smenu kod $I_1$ i dobijem integral sa granicama kao i $I_3$ , koristim i da je $\cos 2x=\frac{e^{i2x}+e^{-i2x}}{2}$ . Ali kad saberem $I_1$ i $I_3$ ne mogu da dobijem pogodan izraz.

I naravno, treba jos izracunati $I_2=\int_{C_r}e^{iaz}\frac{1-e^{2iz}}{z^2}\,dz$ . To cu kucati kad mi protumacite ovaj deo sto sam kucala. Mislim da je prvi deo u redu jer sam radila kao u jednom slicnom primeru koji imamm uradjen i to mi je jasno. Problem je ovaj deo oko sabiranja integrala.

Forum.pdf7.24k

Re: Kompleksna integracija 03.06.2010. u 22:13 · pre 199 meseci #6

Sabiranjem dobijaš

$2\frac{\cos(ax)-\cos(a+1)x}{x^2}=-4\frac{\sin(a+1/2)x\sin x/2}{x^2}$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Kompleksna integracija 06.06.2010. u 04:35 · pre 199 meseci #7

Citat:

Dinaaaa: Problem je ovaj deo oko sabiranja integrala.

Ne trebas sabirati te integrale (afaik to bi radila da su ti granice zadanog integrala od 0 do +beskonacno, pa ti treba sabiranje da bi zakljucila o eventualnoj parnosti podintegralne funkcije, te konacni rezultat (ovog sa beskonacnim granicama) samo podijelila sa dva.)

U tvom slucaju (rekla si da je ovo Furierov transform) dovoljno ti je znati *glavnu vrijednost* zadanog integrala. A ta glavna vrijednost zadanog integrala ce postojati ako postoji limes (kad R->besk i r->0) zbroja integrala I1 i I3.

Ti si pokazala da je u slucaju kad R->besk I4=0.

Jos trebas samo izracunati koliki je I2, odnosno njegov limes kad r->0. Ne znam na koji nacin si ga izracunala, ali najjednostavnije je preko tvrdnje:

$lim_{r->0}\int_{C_r}f=-\pi i Res(f;z_0)$

koja vrijedi za analiticke funkcije u okolisu pola z0 (nas pol je 0), gdje sam odmah uracunao da kruzni luk C_r ide u negativnom smjeru od pi do 0.

Nakon sto izracunas reziduum u nuli (jednak je -2i), dobije se da je taj limes jednak

$-\pi i (-2i) = -2\pi$ .

Dakle

$lim(I_1 + I_3) = - lim(I_2) = 2\pi = gl. vr. \int_{-\infty}^{\infty} e^{iaz}\frac{1-e^{2iz}}{z^2}\,dz$ .

Sad jos samo preostaje ovu kompleksnu verziju integrala transformirati u oblik iz kojeg cemo iscitati rjesenje naseg pocetnog integrala. Pri tome uzimamo naravno da je z realno na intervalu integracije, pa trebamo modificirati

$e^{iax}\frac{1-e^{2ix}}{x^2}$

tako da u konacnom izrazu dobijemo

$e^{iax}\frac{\sin^2(x)}{x^2}$

Nakon nekoliko redova trigonometrije (koje sam omaskom pojednostavnio racunajuci da je a=1, a sad mi se ne da ponovo a i bojim se da se da ce se zakomplicirati :) ) dobije se:

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{ix}\frac{1-e^{2ix}}{x^2}\,dx = . . . = \int_{-\infty}^{\infty}4e^{ix}\frac{\sin^2(x)}{x^2} - 2 i \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x^2}= 2\pi$

Ovaj zadnji integral je jednak nuli, i dobijemo konacno rjesenje zadanog integrala uz a=1:

$\frac{\pi}{2}$ .

Vjerojatno bi trebalo nesto i diskutirati za $a$ u opcem slucaju.

p.s Sve ovo uzmi ipak s rezervom jer sam kompleksnu davno imao a zanimljivo ovaj dio materije uopce nismo obradjivali.

Potpis

while(sleeping) cat_wails(); wake_up(); for(int i=0;i<9;i++) shoot_cat(); rejoice();
goto(bed);

Re: Kompleksna integracija 19.06.2010. u 20:20 · pre 198 meseci #8

Evo mene posle duzeg vremena.

Ok, jasno mi je sve do transformacije integrala. Zar nije:

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{iax}\frac{1-e^{2ix}}{x^2}\,dx =\int_{-\infty}^{\infty} e^{iax}\frac{1-\cos 2x-i\sin 2x}{x^2}\,dx=2\int_{-\infty}^{\infty}e^{iax}\frac{\sin^2x}{x^2}-i\int_{-\infty}^{\infty}e^{iax}\frac{\sin 2x}{x^2}$

Kako si dobio ovaj zadnji integral bez $e^{iax}$ (tj.u tvom slucaju $e^{ix}$ )?

Re: Kompleksna integracija 22.06.2010. u 00:25 · pre 198 meseci #9

Pa jeste, ali ako ostavis tako, trebas opet raditi taj drugi integral da bi dobila vrijednost zadanog, a ne izgleda bas nesto posebno lijepo :)

$e^{i x}(1-e^{2 i x})= \cdots =cosx+isinx - (cosx+isinx)(cos2x+isin2x)$

poslije mnozenja i razdvajanja na realni i imaginarni dio:

$= cosx-cosxcos2x+sinxsin2x + i[sinx - sinxcos2x-coxsin2x]=$
$= 2cosxsin^2 x+sinx sin2x + i [2sin^3 x-2sinxcos^2 x]=$
$= 4cosxsin^2 x+ i 2sinx(sin^2 x-cos^2 x)=$
$= 4cosxsin^2 x+ i 2sinx(2sin^2 x-1)=$
$= 4cosxsin^2 x + i 4sin^3 x - i 2sinx=$
$= 4sin^2 x(cosx+isinx) - i 2sinx$

Potpis

while(sleeping) cat_wails(); wake_up(); for(int i=0;i<9;i++) shoot_cat(); rejoice();
goto(bed);

Re: Kompleksna integracija 22.06.2010. u 15:30 · pre 198 meseci #10

Ok, u sustini radili smo isto, razlika je sto kad se ubaci ovo a, stvari se komplikuju :))). Primenjujuci tvoj postupak, ne stavljajuci da je a=1, dobija se:

$e^{ia x}(1-e^{2 i x})&=&\cos ax+i\sin ax - (\cos ax+i\sin ax)(\cos 2x+i\sin 2x)=\\ &=&\cos ax-\cos ax\cos 2x+\sin ax\sin 2x + i[\sin ax - \sin ax\cos 2x-\cos ax\sin 2x]=\\ &=&2\cos ax\sin^2 x+\sin ax\sin 2x + i [2\sin ax\sin^2 x-\cos ax\sin 2x]=\\ &=&2\cos ax\sin^2 x+ 2i\sin ax\sin^2 x+\sin ax\sin 2x-i\cos ax\sin 2x=\\ &=&2 \sin^2 x(\cos ax+i\sin ax)+\sin ax\sin 2x-i\cos ax\sin 2x=\\ &=&2 e^{iax}\sin^2 x+\sin ax\sin 2x-i\cos ax\sin 2x$

Ja se vodim glavnim problemom :))). Od muke, moram ga navesti ovde :))).

- Dokazati da je Furijeova transformacija f-je (teta-faktor): $\theta(x)=\left{\begin{array}{cc}1-|x|,&|x|\leq 1\\ 0,&|x|>1\end{array}\right.$
f-ja $F(\theta)=2\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{\sin^2\frac{y}{2}}{y^2}$ .

Taj deo dokazem i to mi je sigurica da je zadatak ispravan. Treba sad dokazati inverznu transformaciju, a znamo da je $F(\theta)=F^{-1}(\theta)$ . Znaci resavanjem onog integrala sa pocetka treba da se dobije rezultat u kome se pojavljuje |a|, tj. nesto oblika $2\pi-2\pi a$ i $2\pi+2\pi a$ , u zavisnosti od a. Ja ne vidim drugi izlaz osim resavanja $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin ax\sin 2x-i\cos ax\sin 2x}{x^2}$ . Drugi integral uz i je 0. Da li je moguce na "pristojan nacin" :))) resiti ovaj prvi, kao parametarski integral ili na neki drugi nacin?

Srodne teme