Teorija redova - Kosijev kriterijum

Teorija redova - Kosijev kriterijum 17.10.2008. u 20:01 · pre 219 meseci #1

Pozdrav!
Ima neke nedoumice sa jednim zadatkom pa ako moze mala pomoc

E ovako:
Ispitati da li je red $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}}$ konvergira. Treba ispitati preko Kosijevog kriterijuma.

Kosijev kriterijum kaze:
Red $\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}$ konvergira akko $\forall\epsilon>0$ postoji $k_{0}\in{N}$ i $\forall p,k \in{N}$ vazi sledeca implikacija:
$k \geq k_{0}\Rightarrow \left|\sum_{n=k+1}^{k+p}{a_{n}}\right|<\epsilon$

E sad:
Izraz $\left|\sum_{n=k+1}^{k+p}{\frac{1}{n}}\right|=\left|\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+ ...... + \frac{1}{k+p}\right|$ je sigurno manji ili jednak od $\frac{p}{k+1}$ . Nadam se da nisam pogresio.
Iz ovoga je $\frac{p}{k+1}<\epsilon$ a iz ovoga sledi da je $k>\left[\frac{p}{\epsilon}\right]-1$

Sad me interesuje da li sam do sada napravio neku gresku i kako iz ovoga sto sam napisao da dokazem da niz divergira??

_{[Ovu poruku je menjao RMAN dana 17.10.2008. u 22:02 GMT+1]}

Potpis

Eureka!

MILAN DJUKIC
D J U K A

Re: Teorija redova - Kosijev kriterijum 17.10.2008. u 23:00 · pre 219 meseci #2

za sada samo hint, ne valja ti ovaj kraj, ti hoces da dokazes da red konvergira a on ustvari divergira, treba da dokazes da vazi negacija kosijevog kriterijuma ...

Potpis

tisuću lijepih žena posve nagih

Re: Teorija redova - Kosijev kriterijum 17.10.2008. u 23:55 · pre 219 meseci #3

Znam da treba da dokazem negaciju, video sam u knjizi. Ali sta ako dobijem neki zeznutiji zadatak? kako onda da provalim kojim putem da idem?

Potpis

Eureka!

MILAN DJUKIC
D J U K A

Re: Teorija redova - Kosijev kriterijum 18.10.2008. u 00:59 · pre 219 meseci #4

Mozda grijesim al kad zakljucis da je suma reda manja od $\frac{p}{k+1}$ nisi nista dobio s obzirom da to vazi za svako p iz N,tj taj izraz moze biti beskonacno (n=k+1 mozemo reci da je k fiksirano do k+p pri cemu je p iz N)

Re: Teorija redova - Kosijev kriterijum 18.10.2008. u 07:45 · pre 219 meseci #5

Citat:

Znam da treba da dokazem negaciju, video sam u knjizi. Ali sta ako dobijem neki zeznutiji zadatak? kako onda da provalim kojim putem da idem?

Pitanje je previse hipoteticko. Na svim fakultetima se Kosijev kriterijum koristi u zadacima vise kao teorijsko pitanje a ne kao neki operativni kriterijum za dokazivanje konvergencije redova, ja sam video mozda tri zadatka na tu temu.

Inace, verovatno si video resenje u knjizi za postavljeno pitanje. Koristi se cinjenica da je 1/(k+1) + 1/(k+2) + ... + 1/(k+k) > 1/(2k) + 1/(2k) + ... + 1/(2k) = k*1/(2k) = 1/2 pa vazi negacija kosijevog kriterijuma

$(\exists\epsilon>0)(\forall k_{0}\in{N})( \exists p,k \in{N})( k \geq k_{0}\land \left|\sum_{n=k+1}^{k+p}{a_{n}}\right|\geq\epsilon)$

epsilon ti je 1/2 i p=k

Potpis

tisuću lijepih žena posve nagih

Re: Teorija redova - Kosijev kriterijum 18.10.2008. u 11:29 · pre 219 meseci #6

$\sum_{n=k+1}^{k+p}\frac 1n\geq\frac{p}{k+p}$

Za $p=k$ je $\sum_{n=k+1}^{2k}\frac 1n\geq\frac{1}{2}$ ,

a to je svakako veće od, na primer, $\varepsilon=\frac 13$ , kakvo god da je $k$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Srodne teme