Rutinski problemi - objašnjenje,sugestija?

Re: Rutinski problemi - objašnjenje,sugestija? 11.08.2008. u 22:52 · pre 221 meseci #21

Citat:

R A V E N:
Je li ovo moje tačno?

Jeste tačno. Ne mogu se složiti s mišljenjem koje je izneo MathManiac, jer nije dužnost rešavača da gleda u pasulj kako bi saznao šta je postavljač zadatka mislio i da li podrazumeva formulu u „sirovom“ značenju (šta god to bilo).

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Re: Rutinski problemi - objašnjenje,sugestija? 12.08.2008. u 01:06 · pre 221 meseci #22

Konstrukcija koju sam zapisao, kao i ono tvoje, je trivijalno rješenje. U biti, i nije rješenje već samo matematičkim simbolima prepisan zadatak. Svakako se potrudi dobiti formulu za opći član jer je to rješenje. Maloprije sam popio kavu i zavirio u šoljicu; tamo tako isto piše. :-)

Re: Rutinski problemi - objašnjenje,sugestija? 12.08.2008. u 05:37 · pre 221 meseci #23

MathManiac je koristio zapis za funkciju,a i niz je zapravo samo jedna funkcija.

Zapis niza u dvije formule(jedna za parne,druga za neparne članove) je meni bio neobičan izprva,ali se koristi u zbirci Miličić-Ušćumlić.

Re: Rutinski problemi - objašnjenje,sugestija? 12.08.2008. u 11:59 · pre 221 meseci #24

Citat:

MathManiac:
Konstrukcija koju sam zapisao, kao i ono tvoje, je trivijalno rješenje. U biti, i nije rješenje

Trivijalno rešenje nije rešenje?

Ponoviću, zadatak je postavljača da se obezbedi od trivijalnih rešenja (ako mu se ona ne dopadaju). U ovom slučaju bilo je dovoljno npr. tražiti niz čiji su svi članovi međusobno različiti (a to nije traženo).

Da li vaš niz zadovoljava postavljene uslove (da su mu $2$ i $-2$ tačke nagomilavanja) — zadovoljava. Na osnovu čega onda neko može tvrditi da to nije tačno rešenje?

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Re: Rutinski problemi - objašnjenje,sugestija? 12.08.2008. u 14:04 · pre 221 meseci #25

Citat:

R A V E N:

Code:
Problem 4.
Napisati opšti član niza koji ima tačke nagomilavanja 2 i -2.

Ja napišem:

-neparni članovi: $a_{2n+1}=-\frac{2n}{n}$
-parni članovi: $a_{2n}=\frac{2n}{n}$

međutim,ponuđeno rješenje je $a_n=\frac{2n(-1)^n+5}{n}$ .

Je li ovo moje tačno?

To sto si ti napisao je ustvari ovo $a_n=\frac{2n(-1)^n}{n}$ ,sto si i sam mogao skontat.

Re: Rutinski problemi - objašnjenje,sugestija? 12.08.2008. u 14:14 · pre 221 meseci #26

Tijekom mog studija matematike je bilo pravilo da se opći član niza piše kao zatvorena formula, a ne kao razlomljena.

Na koncu, opći član niza koji ima gomilišta 1 i -1 (redovit primjer u udžbenicima matematičke analize) se uvijek piše ovako $a_n=(-1)^n$ , a nikada ovako
$a_n=\left\{\begin{array}{ll} 1,\ & n\ \textrm{paran},\\ -1,\ & n\ \textrm{neparan} \end{array}\right.$

Barem ja nisam vidio da je neki autor to tako zapisao...

Re: Rutinski problemi - objašnjenje,sugestija? 14.08.2008. u 14:53 · pre 221 meseci #27

h4su,dobro si to opazio(znači to riješiti zadatak elegantno?

).U pravilu rješenje problema se sastoji u poopćavanju nečega,posmatranju toga na globalnijoj,sveobuhvatnijoj razini ili pronalaženju analogija i korištenju metoda iz drugih oblasti(matematike).Što je meni u ovom slučaju promaklo.

Code:
Problem 5:
Izračunati :

$\lim_{x\to\infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$

Trebam uputu - kako krenuti?

_{[Ovu poruku je menjao R A V E N dana 14.08.2008. u 16:19 GMT+1]}

Re: Rutinski problemi - objašnjenje,sugestija? 14.08.2008. u 15:22 · pre 221 meseci #28

Počni od Stirlingovog obrasca: $n!\sim\frac{n^n}{e^n}\sqrt{2\pi n}$ , i dalje će ti biti jasno.

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Re: Rutinski problemi - objašnjenje,sugestija? 14.08.2008. u 15:39 · pre 221 meseci #29

mozda bi se mogla iskoristiti i Stolz-ova teorema.

Potpis

MyCoNfa:
CPU: AMD Phenom II X4 965 3,4GHz BOX
Maticna:Asus M4A89GTD PRO
RAM: Corsair 4x2GB 1600MHz, 9-9-9-24
Grafa: Diamond ATI 5870 1GB
HDD:3xWD 320GB AAKS, stripe raid
DVD/RW:LG,SATA
SilverStone SST-ST50F 500W
CoolerMaster CM690
LG 24" 2453TQ-PF
Tastatura A4Tech X7 G800
Stakor: A4Tech X7-755FS

Re: Rutinski problemi - objašnjenje,sugestija? 14.08.2008. u 18:05 · pre 221 meseci #30

Vjerovatno su na Stolzovu mislili,Stirlingov obrazac mi izgleda too advanced za naš nivoo,mada znam i za njega.

Re: Rutinski problemi - objašnjenje,sugestija? 20.08.2008. u 12:21 · pre 221 meseci #31

Code:
Problem 6:

Ako je zadato $S_n=n(u_0+u_1+...+u_n)$ gdje je $u_0=-\ln4$ a $u_n=\ln\frac{(n+1)(n+3)}{n(n+4)}$ ,izračunati $\lim_{x\to\infty}S_n$ .Uščumlić 1591.

Ako primjenim formulu za zbir prvih $n$ članova aritmetičkog niza i izvršim zamjenu za $u_0$ dobijam

$S_n=n\left(-\ln4+\frac{n}{2}\ln\frac{8(n+1)(n+3)}{5n(n+4)}\right)$

i nakon niza transformacija(operacije s logaritmima) izađem na

$\lim_{x\to\infty}S_n=\lim_{x\to\infty}\ln\left(\frac{\sqrt{\left[\frac{8(n+1)(n+3)}{5n(n+4)}\right]^n}}{4}\right)^n$

što ja ne znam da izračunam.

U rješenju se tvrdi da se izraz $S_n$ zapravo svede na $S_n=n\ln\left(1-\frac{3}{n+4}\right)$ i da je njegov limes $-3$ .

Kako je sveden na ovaj izraz i gdje sam ja pogriješio?

_{[Ovu poruku je menjao R A V E N dana 20.08.2008. u 15:19 GMT+1]}

Re: Rutinski problemi - objašnjenje,sugestija? 20.08.2008. u 13:20 · pre 221 meseci #32

Citat:

R A V E N:

Code:
Problem 5:
Izračunati :

$\lim_{x\to\infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$

_{[Ovu poruku je menjao R A V E N dana 14.08.2008. u 16:19 GMT+1]}

Samo ovde umesto $x$ stavi $n$

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Rutinski problemi - objašnjenje,sugestija? 20.08.2008. u 13:24 · pre 221 meseci #33

Citat:

R A V E N: Vjerovatno su na Stolzovu mislili,Stirlingov obrazac mi izgleda too advanced za naš nivoo,mada znam i za njega.

Mislim da nisi u pravu! Ovde je mnogo lakse upotrebiti Stirlingovu aproksimaciju!

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Rutinski problemi - objašnjenje,sugestija? 20.08.2008. u 13:32 · pre 221 meseci #34

Kasno je sad za ispravku.

Re: Rutinski problemi - objašnjenje,sugestija? 20.08.2008. u 14:14 · pre 221 meseci #35

Hajde da pokušamo da razbijemo opšti član u_n.
Koristeći osobine ln f-je uočavamo da je:
u_n = ln (n+1) + ln (n+3) - ln (n) - ln (n+4)
Sada, krucijalno je iskoristiti ono što je meni asistent iz Analize sve vreme ponavaljao - kad god imate niz, pokušajte izračunati prvih nekoliko članova čisto da "osetite" kako se niz ponaša.
Elem,
u₀ = -ln 4
u₁ = ln 2 + ln 4 - ln 1 - ln 5
u₂ = ln 3 + ln 5 - ln 2 - ln 6
u₃ = ln 4 + ln 6 - ln 3 - ln 7
u₄ = ln 5 + ln 7 - ln 4 - ln 8
...
u_n = ln(n+1) + ln(n+3) - ln(n) - ln(n+4)

Kada počneš da sabiraš ove članove uočićeš da je reč o tzv. "teleskopskoj" sumi (skoro će se svi članovi pokratiti) te konačno
u₀ + u₁ + ... + u_n = ln (n+1) - ln (n + 4)
a verujem da odavde i sam možeš naći traženo rešenje...

Sve najbolje.

Re: Rutinski problemi - objašnjenje,sugestija? 20.08.2008. u 14:28 · pre 221 meseci #36

i ja sam dosao do istog rjesenja, na isti nacin :D
na kraju se dobije da je $S_{n}=\ln\bigg(\frac{n+1}{n+4}\bigg)^n$ a limes ovog niza se lako nadje. sjecam se ocog zadatka iz uscumlica, kad sam ja vjezbao po toj knjizi :D

Potpis

MyCoNfa:
CPU: AMD Phenom II X4 965 3,4GHz BOX
Maticna:Asus M4A89GTD PRO
RAM: Corsair 4x2GB 1600MHz, 9-9-9-24
Grafa: Diamond ATI 5870 1GB
HDD:3xWD 320GB AAKS, stripe raid
DVD/RW:LG,SATA
SilverStone SST-ST50F 500W
CoolerMaster CM690
LG 24" 2453TQ-PF
Tastatura A4Tech X7 G800
Stakor: A4Tech X7-755FS

Re: Rutinski problemi - objašnjenje,sugestija? 20.08.2008. u 19:08 · pre 221 meseci #37

Računanje prvih nekoliko članova mi je djelovalo kao više nagađanje,uvijek je moguće da recimo 50-i član drugačije izgleda,ali to bi bilo to,"tnx"!

Re: Rutinski problemi - objašnjenje,sugestija? 21.08.2008. u 15:48 · pre 221 meseci #38

I dalje ne mogu da dobijem tačan rezultat $-3$ ;dobivam $3$ .

Evo kako sam radio - (pre)detaljno:

$\lim_{x\to\infty}n\ln\frac{n+1}{n+4}=$

$\lim_{x\to\infty}\ln\left(\frac{n+4}{n+4}-\frac{3}{n+4}\right)^n=$

$\lim_{x\to\infty}\ln\left(1-\frac{3}{n+4}\right)^n=$

$\ln\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{\frac{n+4}{3}}\right)^n=$

$\ln\left[\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{\frac{n+4}{3}}\right)^\frac{n}{3}\right]^3=$

$\ln\left(\lim_{x\to\infty}\left[\frac{\left(1-\frac{1}{\frac{n+4}{3}}\right)^\frac{n+4}{3}}{\left(1-\frac{1}{\frac{n+4}{3}}\right)^\frac{4}{3}}\right]\right)^3=$

$\ln\frac{e^3}{\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{\frac{n+4}{3}}\right)^4}=.....$ (kod odbija da se podvuče,da ne duljim,Kolins je već objasnio)

_{[Ovu poruku je menjao R A V E N dana 21.08.2008. u 19:06 GMT+1]}

Re: Rutinski problemi - objašnjenje,sugestija? 21.08.2008. u 16:54 · pre 221 meseci #39

$\ln\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{\frac{n+4}{3}}\right)^n=\ln\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{\frac{n+4}{3}}\right)^{-\frac{n+4}{3}\cdot{(-\frac{3}{n+4})}\cdot{n}}= \ln\lim_{x\to\infty}\left[\left(1-\frac{1}{\frac{n+4}{3}}\right)^{-\frac{n+4}{3}}\right]^{\lim_{x\to\infty}\frac{3n}{n+4}}=-\lim_{x\to\infty}\frac{3n}{n+4}=-3$

"originalni" lims glasi
$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e$ a ne $\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n=e$
ako bi bilo $\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n$ onda mora biti $\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{-n}=e$

Potpis

MyCoNfa:
CPU: AMD Phenom II X4 965 3,4GHz BOX
Maticna:Asus M4A89GTD PRO
RAM: Corsair 4x2GB 1600MHz, 9-9-9-24
Grafa: Diamond ATI 5870 1GB
HDD:3xWD 320GB AAKS, stripe raid
DVD/RW:LG,SATA
SilverStone SST-ST50F 500W
CoolerMaster CM690
LG 24" 2453TQ-PF
Tastatura A4Tech X7 G800
Stakor: A4Tech X7-755FS

Re: Rutinski problemi - objašnjenje,sugestija? 21.08.2008. u 17:58 · pre 221 meseci #40

Citat:

R A V E N:
$\ln\frac{e^3}{\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{\frac{n+4}{3}}\right)^4}=$ (kod odbija da se podvuče)

Probaj ovako:
$\ln\frac{e^3}{\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{\frac{n+4}{3}}\right)^4}=$

Ili, ako hoćeš da ti razlomak u zagradi ostane „mali“, ovako:
$\ln\frac{e^3}{\lim\limits_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{\frac{n+4}{3}}\right)^4}=$

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Srodne teme