josh malo teorije brojeva ...

josh malo teorije brojeva ... 23.08.2003. u 21:46 · pre 282 meseci #1

Par zadataka iz algebre koje ne mogu da reshim, trazim pomoc.

1. Reshiti jednachinu u skupu N. 1/x + 1/y + 1/z = 1

2. Naci sve prirodne brojeve deljive sa 30, takvih da imaju
tachno 30 delilaca

3. Da li postoje prirodni brojevi m i n, zapisani od istih cifara
(npr 1234 4123) takvi da vazi m - n = 1995

4. $f(n-1)|f(n^n - 1)$ .
f je Ojlerova funkcija

Potpis

Re: josh malo teorije brojeva ... 24.08.2003. u 15:09 · pre 282 meseci #2

Pa da počnem:
1. Jedan od brojeva 1/x, 1/y, 1/z mora biti veći ili jednak 1/3. Neka je to broj 1/x (jednačina je simetrična tako da nije bitno koji je to broj). Odavde imamo da je $x\leq 3$ tj. $x\in \{1,2,3\}$ . Za x=1 nema rešenja, za x=2 dobijamo: 1/y+1/z=1/2 pa sličnim rasuđivanjem dobijamo da je $y\leq 4$ tj. $y\in \{1,2,3,4\}$ tako ćes dobiti rešenja (2,3,6), (2,4,4) (permutovanjem ovoh rešenja dobijaš nova, zato što je jednačina simetrična). Za x=3 imamo: 1/y+1/y=1/3 pa opet $y\leq 6$ tj. $y\in \{1,2,3,4,5,6\}$ odavde ćeš dobiti ostala rešenja.

2. Pa pošto je deljiv sa 30 mora da sadrži faktore 2, 3, 5 tj. n=2^a3^b5^c. Nesme da sadrži druge faktore jer je broj delilaca jednak (a+1)(b+1)(c+1)=30=2* 3*5 Prema tome odavde nalazis sve brojeve n koji zadovoljavaju date uslove.

3. Pa ovo je baš lako, jer ako su zapisani od istih cifara imaju isti ostatak pri deljenju sa 9 pa je njihova razlika deljiva sa 9 a broj 1995 nije.

4. Mislis na Ojlerovu $\varphi$ fju?

poz.

Re: josh malo teorije brojeva ... 31.08.2003. u 22:08 · pre 281 meseci #3

Citat:

počnem:
1. Jedan od brojeva 1/x, 1/y, 1/z mora biti veći ili jednak 1/3. Neka je to broj 1/x (jednačina je simetrična tako da nije bitno koji je to broj). Odavde imamo da je . Za x=1 nema rešenja, za x=2 dobijamo: 1/y+1/z=1/2 pa sličnim rasuđivanjem dobijamo da je tako ćes dobiti rešenja (2,3,6), (2,4,4) (permutovanjem ovoh rešenja dobijaš nova, zato što je jednačina simetrična). Za x=3 imamo: 1/y+1/y=1/3 pa opet odavde ćeš dobiti ostala rešenja.

hvala...

Citat:

2. Pa pošto je deljiv sa 30 mora da sadrži faktore 2, 3, 5 tj. n=2a3b5c. Nesme da sadrži druge faktore jer je broj delilaca jednak (a+1)(b+1)(c+1)=30=2* 3*5 Prema tome odavde nalazis sve brojeve n koji zadovoljavaju date uslove.

e ovo mi uopshte nije jasno !!!

Citat:

3. Pa ovo je baš lako, jer ako su zapisani od istih cifara imaju isti ostatak pri deljenju sa 9 pa je njihova razlika deljiva sa 9 a broj 1995 nije.

glup sam priznajem

4. Mislis na Ojlerovu fju?
da ali sam sad taj zadatak reshio

naime (n^n-1)=(n-1)(n^{n-1}+...+1} a ova dva broja suuzajamno prosta jer
ako n-1=d(mod d) => n=1 (mod d). a (n^{n-1}+...+1)=1 (mod d) pa su uzajamno prosti.

Potpis

Srodne teme