Izracunavanje integrala!

Izracunavanje integrala! 11.04.2008. u 16:52 · pre 225 meseci #1

$\int^{\infty}_{0}sinx^{2}dx$

$\int^{\infty}_{0}cosx^{2}dx$

$\int^{\infty}_{0}e^{-x^{2}}cos2bxdx$

Da li se mogu izracunati ovi integrali bez primene kompleksne analize?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Izracunavanje integrala! 16.04.2008. u 17:43 · pre 225 meseci #2

Prvi se resava pomocu trigonometriskih transformacija, (sinx)^2=(1-cos2x)/2. Kada se to uradi onda se lako dalje resava tako sto se rastavi na 2 integrala.
Drugi primer, (cosx)^2=1-(sinx)^2 pa se razdvoji i opet kao i u prvom. A treci se radi parcijalnom integracijom. A i skroz ocigledno resenje 1. i 2. je beskonacno. Za treci nisam siguran.

Re: Izracunavanje integrala! 16.04.2008. u 17:54 · pre 225 meseci #3

Malo si ti pobrko nepise (sinx)² neg sinx²

Re: Izracunavanje integrala! 16.04.2008. u 18:16 · pre 225 meseci #4

pise sin(x^2) i to je, kao neodredjen, neresiv integral, to jest ne moze se njegovo resenje izraziti preko konacnog broja elementarnih funkcija. Razvojem podintegralne funkcije u recimo Tejlorov polinom, moguce je ga izraziti kao beskonacnu sumu.

Re: Izracunavanje integrala! 16.04.2008. u 19:38 · pre 225 meseci #5

Meni je jos poznato i to da se prva dva nazivaju Frenelovi koeficijenti i imaju primenu u optici.

Re: Izracunavanje integrala! 16.04.2008. u 20:19 · pre 225 meseci #6

Prva dva integrala su Frenelovi. Mogu se resiti putem kompleksne analize izborom odgovarajucih kontura i koriscenjem da je $\int^{\infty}_{-\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}$ sto je Poasonov integral. Moje pitanje je dal bi se to ikako moglo resiti bez primene kompleksne analize?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Izracunavanje integrala! 16.04.2008. u 22:51 · pre 225 meseci #7

Prva dva mogu. Recimo integral

$I=\int_0^{\infty} \sin x^2 dx$ .

Kvadriramo gornji integral, vodeći pri tome računa da je integral u principu suma, tako da kao rezultat kvadriranja dobijamo dvostruku sumu

$I^2=\int_0^{\infty}\int_0^{\infty}\sin x^2\sin y^2 dx dy=\frac{1}{2}\int_0^{\infty}\int_0^{\infty}[\cos(x^2-y^2)-\cos(x^2+y^2)]dxdy=I_1-I_2$

Sada treba rešiti ova dva dvostruka integrala. Prvi se rešava uvođenjem smene $x+y=u$ i $x-y=v$ , a drugi uvođenjem polarnih koordinata. Prilikom integracije pojaviće ti se integrali oblika

$\int_0^{\infty}\sin{x}dx$

Njih rešavaš sledećim trikom. Staviš da je

$\int_0^{\infty}\sin{x}dx=\lim_{a\rightarrow 0}\int_0^{\infty}e^{-ax}\sin xdx=\lim_{a\rightarrow 0}\frac{1}{1+a^2}=1$

Slično i za integrale sa kosinusom. Eto, naučio si nekoliko novih trikova, a sada malo vežbaj ;)

Za treći ne znam sigurno, ali mislim da ne može.

Re: Izracunavanje integrala! 27.04.2008. u 01:36 · pre 225 meseci #8

Ovaj prvi nisam uspeo da resim...

$\int^{\infty}_{0}\int^{\infty}_{0}cos(x-y)(x+y)dxdy$

$x-y=u$

$dx-dy=du$

$x+y=v$

$dx+dy=dv$

$2dx=du+dv$

$2dy=dv-du$

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Izracunavanje integrala! 01.05.2008. u 01:39 · pre 225 meseci #9

Jesi čuo ti za Jakobijan?

Re: Izracunavanje integrala! 01.05.2008. u 04:35 · pre 224 meseci #10

Ne!

Re: Izracunavanje integrala! 01.05.2008. u 08:17 · pre 224 meseci #11

$\left |\begin{array}{cc} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \\ \end{array}\right | =2$

$\frac{\partial u}{\partial x}=1$
$\frac{\partial u}{\partial y}=-1$
$\frac{\partial v}{\partial x}=1$
$\frac{\partial v}{\partial y}=1$

$2\int^{\infty}_{0}\int^{\infty}_{0}cosuvdudv=2\int^{\infty}_{0}dv\int^{\infty}_{-\infty}cosuvdu$

_{[Ovu poruku je menjao petarm dana 01.05.2008. u 17:10 GMT+1]}

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Izracunavanje integrala! 01.05.2008. u 10:37 · pre 224 meseci #12

Eto, vidiš kako može.

Re: Izracunavanje integrala! 01.05.2008. u 14:21 · pre 224 meseci #13

Citat:

petarm: $2\int^{\infty}_{0}\int^{\infty}_{0}cosuvdudv=2\int^{\infty}_{0}dv\int^{\infty}_{0}cosuvdu$

Eh da, granice ti ne valjaju. Treba

$2\int^{\infty}_{0}dv\int^{\infty}_{-\infty}\cos uvdu$

Re: Izracunavanje integrala! 01.05.2008. u 16:12 · pre 224 meseci #14

Ispravljeno!

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Srodne teme