Detaljno resenje jednog integrala

Detaljno resenje jednog integrala 10.04.2007. u 19:57 · pre 237 meseci #1

jel neko moze da mi detaljno rijesi ovaj integral? pokusao sam sve al se uvijek negdje zapetljam

∫ korijen iz (1+x^2) dx

Re: Detaljno resenje jednog integrala 10.04.2007. u 22:45 · pre 237 meseci #2

Upotrebiš smenu $x=\mathrm{sh}\,t\Longrightarrow \mathrm{d}x=\mathrm{ch}\,t\mathrm{d}t\land\sqrt{1+x^2}=\mathrm{ch}\,t$

pa integral postaje

$I=\int\mathrm{ch}^2t\mathrm{d}t=\int\frac{e^{2t}+2+e^{-2t}}{4}\mathrm{d}t=\dots$

Dalje probaj sam, pa javi kad i ako zapneš.

Re: Detaljno resenje jednog integrala 11.04.2007. u 21:00 · pre 237 meseci #3

Hajd da ja probam ovako iz glave:
$\int{\sqrt{1+x^2}}dx$

malo transformisemo podintegralnu funkciju na sljedeci ancin

$\sqrt{1+x^2}=\frac{1+x^2}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+x\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$
Prema tome imamo da je
$\int{\sqrt{1+x^2}}dx=\int{\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx+\int{x\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}}dx$
odnosno
$I=I_{1}+I_{2}$ gdje je
$I_{1}=\int{\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx$
$I_{2}=\int{x\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}dx$

Prvi integral je tablicni, odnosno
$I_{1}=ln|x+\sqrt{1+x^2}|$
a drugi rjesavamo parcijalnom integracijom stavljajuci da je:

$u=x$
$dv=\frac{xdx}{\sqrt{1+x^2}}$
odakle je
$du=dx$
$v=\int{\frac{xdx}{\sqrt{1+x^2}}}$
ovaj integral rjesavamo smjenom
$1+x^2=t\Rightarrow{xdx=\frac{dt}{2}}$
pa je
$v=\int{\frac{\frac{dt}{2}}{t^{\frac{1}{2}}}}=\frac{1}{2}\int{t^{-\frac{1}{2}}}dt=\frac{1}{2}\frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C_{1}=\sqrt{t}$
odnosno
$v=\sqrt{1+x^2}+C_{1}$
sada je
$I_{2}=\int{x\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}dx=x\sqrt{1+x^2}-\int{\sqrt{1+x^2}dx}=x\sqrt{1+x^2}-I$
i na kraju
$I=I_{1}+I_{2}=ln|x+\sqrt{1+x^2}|+x\sqrt{1+x^2}-I+C$
$I=\frac{1}{2}ln|x+\sqrt{1+x^2}|+\frac{x\sqrt{1+x^2}}{2}+C$
valjda je to TO. Pozz

PS: ako se dobro sjecam, ovaj integral bi se mogao rijesiti i smjenom $\sqrt{1+x^2}=x+t$ - Euler-ova smjena.

Potpis

MyCoNfa:
CPU: AMD Phenom II X4 965 3,4GHz BOX
Maticna:Asus M4A89GTD PRO
RAM: Corsair 4x2GB 1600MHz, 9-9-9-24
Grafa: Diamond ATI 5870 1GB
HDD:3xWD 320GB AAKS, stripe raid
DVD/RW:LG,SATA
SilverStone SST-ST50F 500W
CoolerMaster CM690
LG 24" 2453TQ-PF
Tastatura A4Tech X7 G800
Stakor: A4Tech X7-755FS

Re: Detaljno resenje jednog integrala 12.04.2007. u 18:23 · pre 237 meseci #4

Sorry sto sam te naveo na pogresan put, malo sam se zeznuo, ipak bi trebala smjena $\sqrt{1+x^2}=x-t$ *
Kvadriranjem prethodne jednakosti, dobijemo da je

$1+x^2=x^2-2xt+t^2\Rightarrow{2xt=t^2-1\Rightarrow{x=\frac{t^2-1}{2t}}}$ **
diferenciranjem dobijemo da je

$dx=\Bigg (\frac{t^2-1}{2t}\Bigg )'=\frac{2t\cdot{2t}-(t^2-1)\cdot{2}}{4t^2}dt=\frac{t^2+1}{2t^2}dt$ ***

Iz jednakosti * koristenjem jednakosti ** dobijemo da je

$\sqrt{1+x^2}=\frac{t^2-1}{2t}}}-t=\frac{t^2-1-2t^2}{2t}=-\frac{t^2+1}{2t}$ ****

Kad jednakosti *** i **** vratimo u pocetni integral, dobijemo

$\int{-\frac{t^2+1}{2t}\cdot{\frac{t^2+1}{2t^2}dt}}=-\frac{1}{4}\int{\frac{t^4+2t^2+1}{t^3}}dt=-\frac{1}{4}\int{(t+\frac{2}{t}+t^{-3})}dt= -\frac{t^2}{8}-\frac{1}{2}ln|t|-\frac{1}{4}\cdot{\frac{-1}{2t^2}}+C=-\frac{t^2}{8}-\frac{1}{2}ln|t|+\frac{1}{8t^2}+C$

Iz jednakosti * dobijemo da je
$t=x-\sqrt{1+x^2}$
Vracanjem smjene, dobijemo:

$\int{\sqrt{1+x^2}dx}=-\frac{(x-\sqrt{1+x^2})^2}{8}-\frac{1}{2}ln|x-\sqrt{1+x^2}|+\frac{1}{8}\cdot{\frac{1}{(x-\sqrt{1+x^2})^2}}=-$

$=-\frac{2x^2-2x\sqrt{1+x^2}+1}{8}+\frac{1}{8}\cdot{\frac{1}{(x-\sqrt{1+x^2})^2}}\cdot{\frac{(x+\sqrt{1+x^2})^2}{(x+\sqrt{1+x^2})^2}}-\frac{1}{2}ln|x-\sqrt{1+x^2}|+C=$

$=-\frac{2x^2-2x\sqrt{1+x^2}+1}{8}+\frac{2x^2+2x\sqrt{1+x^2}+1}{8}-\frac{1}{2}ln|x-\sqrt{1+x^2}|+C$
Kad se posljednji izraz malo sredi, dobije se
$\int{\sqrt{1+x^2}dx}=\frac{x\sqrt{1+x^2}}{2}-\frac{1}{2}ln|x-\sqrt{1+x^2}|+C$

_{[Ovu poruku je menjao Kolins Balaban dana 13.04.2007. u 00:25 GMT+1]}

Potpis

MyCoNfa:
CPU: AMD Phenom II X4 965 3,4GHz BOX
Maticna:Asus M4A89GTD PRO
RAM: Corsair 4x2GB 1600MHz, 9-9-9-24
Grafa: Diamond ATI 5870 1GB
HDD:3xWD 320GB AAKS, stripe raid
DVD/RW:LG,SATA
SilverStone SST-ST50F 500W
CoolerMaster CM690
LG 24" 2453TQ-PF
Tastatura A4Tech X7 G800
Stakor: A4Tech X7-755FS

Srodne teme