Poenkareova konjektura

Pozdrav,

Da li neko zna nesto vise o dokazu Poenkareove konjekture
(jedan on Milenijumskih problema) koji se pojavio pre mesec
dana? Jel' je odobren?

Pozdr.

Nisi rekao na koji dokaz mislis, ali verujem da pricas o radu Perelmana. On zapravo dokazuje jace tvrdjenje, tzv. Thurston's Geometrization Conjecture, iz cega Poenkareova hipoteza trivijalno sledi kao specijalana slucaj. Koliko ja znam njegov dokaz jos uvek nije zvanicno prihvacen ali ogroman broj eksperata koji su ga analizirali tvrde da je ispravan. Problem je sto je Perelman iz nekog razloga apsolutno nezainteresovan za milion dolara koje deli Clay, tako da nije ni poslao svoj rad u neki casopis, i samim tim odobravanje ili negiranje dokaza znatno sporije ide.

Ako nekog interesuje evo Perelmanovih radova koji (verovatno?) dokazuju Poenkareovu hipotezu:

"The Entropy Formula for the Ricci Flow and Its Geometric Application" (2002) - http://arxiv.org/abs/math.DG/0211159

"Ricci Flow with Surgery on Three-Manifolds" (2003) - http://arxiv.org/abs/math.DG/0303109

---

To je to!

Thanks,

Pozdrav.

Svetski matematičari dodelili su Fildsovu nagradu za dostignuća u matematici ruskom naučniku iz Sankt Peterburga Grigoriju Perelmanu, uprkos tome što nije svoj naučni rad u kojem dokazuje Poenkareovu hipotezu objavio u naučnom časopisu, što je odbio da primi nagradu i pojavi se na kongresu u Madridu, a i u junu je napunio 40 godina. Najvišu nagradu u oblasti matematike, ravnu Nobelovoj za druge nauke, španski kralj Huan Karlos uručio je u Madridu još jednom Rusu Andreju Okunkovu, koji trenutno radi u SAD, kao i Vendelin Verner iz Francuske i Terensu Taou iz Australije. Perelmanu je nagrada dodeljena za doprinos u izučavanje geometriije, a njegove kolege smatraju da je ruskom naučniku pošlo za rukom da dokaže Poenkareovu hipotezu, što od 1904. nijedan naučnik nije uspeo.

Perelman je počeo da se bavi rešavanjem Poenkareove pretpostavke još 1992. godine, a rezultate nije, kako bi trebalo, objavio ni u jednom naučnom časopisu. Poenkareova hipoteza ili konjektura, teško je objašiva običnim, nematematičkim rečima i pojmovima, ali rečeno pojednostavljeno - ona je centralna u topologiji, grani matematike koja se bavi proučavanjem nepromenjivih kvaliteta geometrijskih tela prilikom njihovog "izobličavanja" (rastezanja, izvrtanja ili gnječenja, bez obzira na veličinu ili oblik). Poenkare je pretpostavio da je svaka kompaktna prosto povezana trodimenzionalna topološka mnogostrukost homeomorfna (topološki jednaka) trodimenzionalnoj sferi tj. zatvorenoj kugli, što se u matematici i fizici smatra centralnim pitanjem pokušaja shvatanja oblika Svemira. Pojednostavljeno, u opisivanju Poenkareove hipoteze potrebno je zamisliti "očuvanje svojstava svega okruglog, zapreminskog, što nema rupu"- Sunca ili pomorandže, što je za matematiku svejedno. Takvo telo bez rupe, zatezanjem gumenom opnom biva "sabijeno" do jedne tačke, dok bi se telo sa rupom, na primer đevrek, u tom slučaju slomio, a guma pukla. Od početka veka matematičari su potvrđivali hipotezu u odnosu na druge dimenzije, 1982. rešen je problem za četvorodimenzionalne prostore, ali ni jedan od načina nije bio pogodan za "trodimenzionalne mnogostrukosti", što je, izgleda, sada pošlo za rukom ruskom naučniku. Perelman je uspeo da dokaže Poenkareovu hipotezu sa kojom su se čitavo stoleće borili najveći umovi 20. veka.

Na posebnoj konferenciji za novinare u Madridu, saopšteno je da se Perelman odrekao nagrade još pre nekoliko meseci, kada je obavešten da će biti nominovan. On je i do sada odbijao ponude za napredovanje u karijeri na Matematičkom institutu Steklov Ruske akademije nauka, koju je nedavno bez obrazloženja napustio, a 1996. godine nije se pojavio na ceremoniji uručivanja nagrade Evropskog kongresa matematičara. Takođe je odbio da primi nagradu od milion dolara američkog univerziteta Klej u Masačusetsu za rešenje jednog od sedam nerešenih matematičkih "milenijumskih problema".

Nagrada koja nosi ime kanadskog naučnika Džona Čarsla Fildsa (1863-1932) predstavlja najvišu nagradu Svetskog saveza matermatičara, dodeljuje se jednom u četiri godine od 1936. godine naučnicima mlađim od 40 godina, a Perelman je nedavno, u junu, napunio 40. Od tada ju je dobilo 44 naučnika a osim nagrade dodeljuje se i 15.000 kanadskih dolara. Fildsovu nagradu do sada su već dobijali ruski naučnici Sergej Novikov, Grigorij Margulis, Vladimir Dinfeld, Efim Zelmanov, Maksim Koncevič i Vladimir Vojevodski.

Perelman je rođen 13. juna 1966. godine i odrastao je u tadašnjem Lenjingradu. Na Međunarodnoj matematičkoj olimpijadi u Budimpešti 1982. je pobedio, skupivši maksimalan broj poena, a zatim je na Steklovu radio do kraja 80-tih godina, posle čega je boravio na univerzitetima u SAD do sredine 90-ih godina. Kada se vratio u Rusiju, punih osam godina nije se pojavljivao u javnosti i ništa nije objavljivao, pa su samo malobrojni znali čime se bavi. U novembru 2002. nečekivano se na serveru "arXiv" pojavila preliminarna verzija Perelmanovog naučnog članka, u kojem je bio sadržan i dokaz hipoteze francuskog naučnika Poenkarea, jednog od preteča Ajnštajnove "teorije relativiteta", sa kojom su se od 1904. godine borili najveći umovi sveta. Svoj rad je pre nešto više od tri godine, objavio na Internetu i od tada niko nije uspeo da porekne njegove navode. Perelmanov rad ima 39 stranica, a njegove kolege matematičari su o njemu već napisale na stotine članaka, neki pokušavajući da ospore njegov dokaz. Ruski naučnik je, inače, odabrao put usamljenika i "čudaka", daleko od javnosti, nezainteresovan za materijana dobra.

Dosad se već odrekao nagrade od milion dolara američko-kembričkog univerziteta Klej u Masačusetsu za rešenje jednog od sedam matematičkih "milenijumskih problema", a još 1996. je odbio da primi Fildsovu nagradu za mlade evropske matematičare. Prema rečima kolega iz Matematičkog instituta Steklov Ruske akademije nauka, Perelman se počeo baviti rešavanjem Poenkareove pretpostavke još 1992. godine. Rodio se 13. juna 1966. godine i odrastao u tadašnjem Lenjingradu. Na Međunarodnoj matematičkoj olimpijadi u Budimpešti 1982. je pobedio, skupivši maksimalan broj poena. Zatim je neko vreme radio na Matematičkom institutu Steklov Ruske akademije nauka, a krajem 1980-tih otišao je u SAD gde je bio do sredine 1990-ih godina. Kada se vratio u Rusiju, punih osam godina nije se pojavljivao u javnosti i ništa nije objavljivao, samo su malobrojni znali čime se bavi.

Naučnici kažu da ono što je Perelman uradio može da se nazove epohalnim čudom, jer rezultati njegovog rada daju novu šansu za istraživanje kosmosa. Slikovito rečeno, da je Magelanu bilo pre 600 godina poznato ono što je dokazao Perelman, znao bi da je Zemlja okrugla. Niko ne zna čime se Perelman trenutno bavi, on je nedavno napustio posao u institutu bez posebnog obrazloženja. Jedan od njegovih bivših šefova kaže za Perelmana da je potpuno posvećen nauci i da za njega "novac ne predstavlja ništa". Ruski naucncik kategorički odbija komunikacije sa javnošću, štampom i uopšte sa ljudima, ali je savršeno dobro upućen u sve što se dešava, kaže njegov kolega. U Sankt Peterburg je dolazio potpredsednik Svetskog matematičkog društva i tražio od Perelmana da, shodno pravilniku za Fildsovu nagradu, napiše članak o svom otkriću , što je on odbio rekavši da je - "sve jasno".

[ag.]

---

Da li moze neko od matematicara ili fizicara koji se bave topologijom da nam jednostavno objasne
kakve su implikacije dokaza Poankareove konkjukture po fizicke teorije?

Odgonetnuta je gotovo vek nedokučiva matematička zagonetka, i iznova zaogrnuta tajnom. Isprva se tragalo za neuhvatljivim dokazom, sada za neuhvatljivim dokazivačem.

U novom zamešateljstvu – namerno ili nenamerno – glavni junak je tajanstveni Grigorij Jakovljevič Pereljman, odmila zvani Griša, koji nije nedavno otputovao u Madrid na uručenje Fildsove medalje, svojevrsne Nobelove nagrade u matematici.

Ostaloj trojici (Andrej Okunkov, Terens Tao i Vendelin Verner) krajem avgusta predata su priznanja na svečanom otvaranju Međunarodnog kongresa matematičara kojem je predsedavao španski kralj Huan Karlos. Nikad se nije dogodilo da neko odbije prvu počast, što je ceo slučaj obogatilo svakojakim nagađanjima u glasilima, iako najmanje osporavanjem zasluga.

Nasuprot tome, dodela odličja s likom Alfreda Nobela, najviše iščekivana svake godine među naučnicima, izostala je šest puta: dvaput su ga se odrekli slavodobitnici, četiri puta su ih zemlje iz kojih dolaze sprečile da otputuju u Stokholm.

Lopta, cigara i zečja glava

Predsednik Međunarodnog matematičkog udruženja Džon Bol izjavio je pre saopštavanja dobitnika da nije jasno šta bi se moglo desiti s novcem i kolajnom ukoliko se slavodobitnik ne pojavi.

Ruski osamljenik rešio je, naime, čuvenu pretpostavku francuskog matematičara, fizičara i filozofa Žila Anrija Poenkarea iz 1904. godine, i nekoliko stotina stranica izračunavanja obznanio u tri navrata na internetu 2002. i 2003. I nijednom u nekom naučnom časopisu, kako je decenijama uobičajeno. Još jedna začkoljica pomislićete i nećete su suviše udaljiti od istine.

U najkraćem, zamisao se sastoji u opisivanju trodimenzionalnih površi u četvorodimenzionalnom prostoru.

Naizgled jednostavna, ona označava da lopta (sfera) s dvodimenzionalnom površinom (kao sve u našem svakodnevnom iskustvu) ima suštinsku odliku da se čvor na omči oko ma koje tačke može razvući do pojedinačne tačke, a da se ne prekine nit ili ne preseče dotični geometrijski oblik. Nasuprot tome, torusi (a to je svaki đevrek koji u slast pojedete) nema takvo svojstvo.

Za dvodimenzionalnu je odgovor dao sam Anri Poenkare iste godine, pretpostavivši da slična tvrdnja važi i za sfere s trodimenzionalnom površinom ili skup tačaka u četvorodimenzionalnom prostoru koji se nalazi na podjednakom rastojanju od središta – date tačke u tom prostoru. Ispostavilo se da je to toliko glavobolno da je odolelo domišljatosti mnoštva uglednih matematičara.

Pomenuta hipoteza je veoma bitna za topologiju, matematičku granu koja izučava oblike, ponekad nazivanu geometrija bez pojedinosti. Za topologa su lopta, cigara i zečja glava isto, jer ih možete preobraziti (preoblikovati), poput mađioničara, jedne u druge. Na isti način su istovetne šolja za kafu ili đevrek, mada nemaju ničeg zajedničkog s prethodnim oblicima.

Drugim rečima, ukazuje se da sve što nema šupljinu može da bude lopta, uz jedno ograničenje – mora biti zbijeno ili zatvoreno, što znači konačnog obima.

Iako zamisao veoma učenog Francuza obuhvata ma koji konačan broj dimenzija, pokazalo se da je najteže dokaziva za tri. Šezdesetih godina potkrepljeno je da je tačna za pet i više dimenzija, za prvi slučaj veoma mukotrpno (Stiven Smejl, sada y „Tojotinom” tehnološkom institutu u Čikagu). Dve decenije kasnije istinitost je potvrđena i za četiri dimenzije (Majkl Fridman koji je danas zaposlen u „Majkrosoftu”).

Neće milion, bere pečurke

Najtvrđi orah s tri dimenzije slomio je Grigorij Jakovljevič Pereljman, zato je to u matematičkom svetu odjeknulo kao grom iz vedra neba. Koristio je postupak poznat pod imenom Ričijev tok, koji je osamdesetih godina predložio Ričard Hamilton sa Kolumbija univerziteta, da za svaki oblik geometrijskog prostora postoji pravilo (formula) koje određuje razdaljinu između ma kojeg para bliskih tačaka.

Zastoj je nastao kada je ovo saznanje trebalo primeniti na čvorovima, pletenicama i svakojakim uvijenim oblicima. Čini se da je izlaz iz ćorsokaka, ne držeći se Arijadnine niti, pronašao samotnjak iz Sankt Peterburga (rođen 1966), koji je s najvišim skorom zablistao na Matematičkoj olimpijadi 1982, potom odbranio doktorat i na kraju se zaposlio u čuvenom Institutu za matematiku „Steklov” u rodnom gradu. S nekoliko stipendija za posledoktorsko usavršavanje ranih devedesetih se otisnuo u SAD, boravio na nekoliko univerziteta i zadivio sve učenjake kao da je „stigao s druge planete”, veoma stidljiv, ljubazan i nimalo sklon materijalnom blagostanju.

Uprkos primamljivim ponudama da ostane, u Rusiju se vratio 1995. ili 1996. godine. Krajem 2002. i početkom 2003. izazvao je ogromno uzbuđenje među bratijom obelodanivši na internetu nekoliko stotina stranica dokaza u kojima je potvrdio hipotezu Žila Anrija Poenkarea za trodimenzionalne sfere. Nije želeo da objavi članak ni u jednom uglednom časopisu, prepustivši svima koji sebe smatraju upućenim i veštim da do mile volje proveravaju nalaze.

Posle toga je napustio posao, prezrevši slavu i novac, potpuno se osamio. Slučajni prolaznici ga povremeno sreću na dugim šetnjama šumama u okolini Sankt Peterburga kako sakuplja pečurke. Sredinom avgusta u potragu za neuhvatljivim dokazivačem neuhvatljive zagonetke krenuli su uporni novinari britanskog lista „Sandej telegraf”. Imali su sreće da ga jednom doprate do stana u kojem živi s majkom i da mu iscede škrtu izjavu da „ne smatra da išta što kaže može biti od javnog interesa”, jer je svoje proračune već objavio.

Čuveni Klejov institut za matematiku iz Kembridža (SAD) na početku 2000. ponudio je po milion dolara za svaki od sedam nerazjašnjenih matematičkih izazova, među koje je, svakako, uvršćena Poenkareova pretpostavka. Srećni dobitnik ne sme da bude stariji od 40 godina.

Grigorij Griša Pereljman je, po svemu sudeći, i to odbio, zbog čega na Zapadu ne prestaju da se iščuđuju.

Stanko Stojiljković

---

Poenkareova hipoteza odnosi se na jednu dosta očiglednu osobinu sfere. Naime, pretpostavimo da imamo elastičnu traku na sferi koja sadrži njen ekvator i uzmimo da traka klizi po sferi prema njenom polu, istovremeno se skupljajući bez kidanja. Vidimo da se traka na ovaj način na kraju skupila u jednu tačku.

Zamislimo isti eksperiment za torus, površ koja nastaje rotacijom kružnice u prostoru oko ose koja ne preseca tu kružnicu (na primer, đevrek ima oblik torusa). Ako je traka obmotana oko tela torusa i da bilo kako klizi po njegovoj površini, vidimo da se traka ne može skupiti u tačku. Imajući u vidu prethodne osobine sfere i torusa, kažemo da je sfera prosto povezana površ dok to torus nije.

Matematičari uvek vole da postavljaju obrnuta pitanja. U ovom slučaju pitanje je: Ako neka površ jeste prosto povezana, da li je ona u osnovi sfera? Rečeno matematičkim rečnikom: Da li je homeomorfna sferi? Na primer, elipsoid je homeomorfan sferi, jer se neprekidnom deformacijom može prevesti u sferu.

Za običnu, dvodimenzionalnu sferu pozitivan odgovor je dao već Poenkare 1904. Istovremeno je postavio pitanje da li slično tvrđenje važi i za trodimenzionalne sfere (3-D sfere), skup tačaka u četvorodimenzionalnom prostoru koji se nalazi na jediničnom rastojanju od centra – date tačke u tom prostoru. Trodimenzionalne sfere imaju analogne osobine običnoj sferi: na primer, kao što je svaki pravi presek obične sfere sa ravni kružnica, tako je presek trodimenzionalne s hiperravni (geometrijski objekat u četvorodimenzionalnom prostoru, analogon običnoj ravni) dvodimenziona sfera.

Pokazalo se da je to pitanje ekstremno teško i odolevalo je napadima velikog broja matematičara sve do Pereljmanovog rešenja. Ovde moramo spomenuti jedan čudan fenomen. Naime, Poenkareov problem ima očiglednu generalizaciju na proizvoljne konačne dimenzije. Očekivalo bi se da je na to pitanje u slučaju viših dimenzija teže odgovoriti. Ispostavilo se da nije tako.

Naime, šezdesetih godina prošlog veka Staling, Ziman i Smejl dokazali su da je Poenkareova hipoteza tačna za dimenzije sfere veće od 4. Tek dvadeset godina kasnije, M. H. Fridman je dokazao istinitost Poenkareove hipoteze i u slučaju 4-D sfera. Poenkareov problem je tipičan zadatak teorije topoloških prostora niske dimenzije i deo je šireg programa, opisa trodimenzionalnih površi (3-više­stru­kosti) u četvorodimenzionom prostoru.

Postavljena je pretpostavka (Terstonova hipoteza, izrečena sedamdesetih) da se svaka 3-višestrukost može dobiti na uniforman način od dvodimenzionih sfera i torusa, dakle geometrijskih objekata jednostavne prirode. Preciznije, da postoji tačno osam takvih prostopovezanih homogenih prostora koji imaju konačan volumen. Prvi od tih prostora je 3-D sfera i taj deo Terstonove hipoteze odnosi se na Poenkareov zadatak.

Grigorij Pereljman je dokazao tačnost Terstonove hipoteze, time i partikularnu, Poenkareovu hipotezu, i zato dobio Fildsovu medalju. Ovo rešenje predstavlja veliki doprinos boljem razumevanju strukture geometrijskih objekata, takođe se mogu očekivati primene u drugim naukama, na primer u teorijskoj fizici i kosmologiji.

prof. dr Žarko Mijajlović
Profesor Matematičkog fakulteta u Beogradu

---

Grigori Grisa Perelman je odbio da primi Fildsovu medalju, koja se cesto naziva Nobelovom nagradom za matematiku. Nije se pojavio na dodeli, niti je uzeo novcanu nagradu od 1 milon $.

Fildsova medalja mu je dodeljena za resavanje, tj. dokazivanje Poinkareove pretpostavke, iz 1904. god (mada ne tim recima :)). Perelman zivi izuzetno skromno u St. Petersburgu u stanu sa majkom.

Ono sto bih voleo da znam ili bar da pokusam da razumem sustinu Poinkareove, sada vec teoreme. Nisam mnogo trazio po netu, verovatno bih pre ili kasnije nasao neko ne toliko strucno objasnjenje, ali reko' da prvo pritam na srpskom :).

Interesantno Perelman svoje resenje 2002. nije objavio u nekom od fancy naucnih casopisa, vec se rad pojavio na internetu na arXiv.org :)

---