Funkcije vise promenljivih

Funkcije vise promenljivih 21.09.2006. u 22:38 · pre 244 meseci #1

Ako je funkcija u=f(x1,x2,...,xm) diferencijabilna u tacki M(x1,x2,...,xm), kako dokazati da je ona neprekidna u toj tacki?

Re: Funkcije vise promenljivih 22.09.2006. u 02:27 · pre 244 meseci #2

_________________________
Kazemo da je funkcija $f:X\rightarrow\mathbb{R}^n, X\subset\mathbb{R}^m$ diferencijabilna u tocki $(x_1,x_2,...,x_m)\in X$ (oznacit cu je krace s $x_0$ a ne s M ), ako postoje:
a) linearni operator " $df(x_0)$ " $:\mathbb{R}^m\rightarrow\mathbb{R}^n$ i
b) neka funkcija $r:\mathbb{R}^m\rightarrow\mathbb{R}^n$ , sa svojstvom: $\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{r(x-x_0)}{||x-x_0||}=(0,...,0)\in\mathbb{R}^n$ (oznacimo je krace samo s 0),

takvi da vrijedi:
$f(x)=f(x_0)+df(x_0)(x-x_0)+r(x-x_0)$
________________________

Kako je po pretpostavci f diferencijabilna u x_0, to za neki $x=x_0+\Delta x$ , vrijedi:
(*) $f(x)=f(x_0)+df(x_0)(\Delta x)+r(\Delta x)$ i
(***) $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{r(\Delta x)}{||\Delta x||}=0$ .

(*****)Treba pokazati da je f neprekidna u $x_0$ , tj treba pokazati da su sve tri funkcije s desne strane gornje jednakosti neprekidne u $x_0$ . Pa jer je zbroj neprekidnih funkcija, neprekidna funkcija, zakljucit cemo da je onda i f, kao njihov zbroj, neprekidna u $x_0$ :

1) Najprije imamo konstantnu funkciju $f(x_0)$ . Ona je neprekidna u $x_0$ jer su konstante neprekidne funkcije.

2) linearni operatori su neprekidne funkcije (dokazuje se tako sto se pokaze da svaki linearni operator ima Lipshitzovo svojstvo, pogledaj negdje medju teoremima), pa je i linearni operator $df(x_0)$ neprekidan.

3)Da bismo pokazali da je r neprekidna u $x_0$ , pozvat cemo se na karakterizaciju neprekidnosti pomocu limesa, tj:

(****) r je neprekidna u $x_0$ akko je $\lim_{\Delta x\rightarrow0}r(x)=r(x_0)$ .

Pokazimo to:

Najprije, uvrstimo li u (*) $x=x_0$ , imat cemo:
$f(x_0)=f(x_0)+df(x_0)(0)+r(0)$ . Iz ovog, i zbog poznate cinjenice da svaki linearni operator nulu preslikava u nulu tj $df(x_0)(0)=0$ , slijedi da je

(**) $r(0)=0$ (ne zaboravimo da je ova nula zapravo $(0,...,0)$ )

Sada zbog (***), prema definiciji granicne vrijednosti, vrijedi:
$(\forall \epsilon >0)(\exists\delta >0), t. da cim je ||\Delta x||<\delta \Rightarrow ||\frac{r(\Delta x)}{||\Delta x||}-0||<\epsilon \Rightarrow\frac{||r(\Delta x)||}{|| \Delta x||}<\epsilon \Rightarrow ||r(\Delta x)||< \epsilon ||\Delta x||$ .
No $||r(\Delta x)||< \epsilon ||\Delta x||$ , na osnovu gornjeg mozemo interpretirati ovako:
$(\forall \epsilon_1 \equiv \epsilon || \Delta x|| >0)(\exists\delta >0), t. da cim je ||\Delta x||<\delta \Rightarrow || ||r(\Delta x)||-0||<\epsilon_1 \Rightarrow \lim_{\Delta x\rightarrow0}||r(\Delta x)||=0$

Kako je norma neprekidna, to limes i norma mogu komutirati pa zadnje mozemo pisati kao:
$||\lim_{\Delta x\rightarrow0}r(\Delta x)||=0$ (ova nula je obicna nula iz skupa $\mathbb{R}$ , jer je to vrijednost norme )

iz cega slijedi da je

$\lim_{\Delta x\rightarrow0}r(\Delta x)=0$ , (ova nula je pak $(0,...,0)$ ) sto zbog (**) mozemo pisati kao:

$\lim_{\Delta x\rightarrow0}r(\Delta x)=r(0)$

pa prema (****) zakljucujemo da je r neprekidna u $x_0$ .

I na kraju zbog recenoga u (*****) zakljucujemo da je f neprekidna u $x_0$

Eto, a mozda moze i jednostavnije, ali jbga ja volim kad je sve jasno..

Potpis

while(sleeping) cat_wails(); wake_up(); for(int i=0;i<9;i++) shoot_cat(); rejoice();
goto(bed);

Re: Funkcije vise promenljivih 22.09.2006. u 10:48 · pre 244 meseci #3

Hvala puno!

Srodne teme