[es] - [Teoreme] Nejednakosti

cassey
Andreja Ilic
Nis

Član broj: 57788
Poruke: 185
212.200.12.*

Profil

^{14.06.2005. u 01:27}

Evo sredjivao sam nesto komp, pa reko da postavi (za sad nejednskosti)... Mozda nekom koristi... (koliko sam ja dobar :-)

Za proizvoljne realne brojeve

vazi:

vazi

Za realne brojeve

vazi:

Jednakost vazi akko

Ako za pozitivne brojeve

vazi

, tada za svaki par

-torki realnih brojeva

vazi:

Jednakost vazi akko

Neka je

. Tada vazi:

Jednakost vazi akko

Ako je funkcija

konveksna i

tada vazi:

Funkcija

je konveksna na intervalu

ako za svako par brojeva

vazi

, sto je ekvivalentno sa uslovom

. Ako je funkcija

strogo konveksna, tada jednakost vazi akko su svi

medjusobno jednaki ili su svi

sem jednog jednaki

Ukoliko realni brojevi

zadovoljavaju uslov:

tada vazi:

Jednakost vazi akko

ili

Neka je za

, sredina

-tog reda:

rastuca funkcija po

, odnosno

. Specijalno

je harmonijska,

je aritmeticka,

kvadratna, a

geometrijska sredina brojeva

. Zbog toga vazi nejednakost medju sredinama

.
Jednakost vazi akko

Za pozitivne brojeve

za koje va\v zi

, nejednakost izmedju aritmeticke i geometrijske sredine glasi:

Jednakost vazi akko su svi

medjusobno jednaki ili su svi

sem jednog jednaki

Za niz realnih brojeva

Definise se funkcija

promenljivih:

gde se sumiranje vrsi po svim permutacijama

skupa

. Ukoliko za dva niza realnih brojeva

vazi:

, tada vazi za sve

-torke nenegativnih brojeva i nejednakost:

Jednakost vazi akko su

identicni ili kada je

Za nenegativne realne brojeve

vazi:

Jednakost vazi akko je

Niz

majorira niz

ako vazi

. To je neophodan i dovoljan uslov da za svaku konveksnu funkciju vazi:

Za nizove realnih brojeva

definisane sa

vazi:

Math is like love. A simple idea but it can get complicated.

^{14.06.2005. u 01:27}

Nedeljko
Nedeljko Stefanovic

Član broj: 314
Poruke: 2013
*.dial.InfoSky.Net.

Profil

Re: [Teoreme] Nejednakosti

^{14.06.2005. u 10:56}

Jedna mala ispravka:

Citat:

cassey: [Funkcija

je konveksna na intervalu

ako za svako par brojeva

vazi

, sto je ekvivalentno sa uslovom

Ako je funkcija

na nekom intervalu

definisana onda se za nju kaže da je Jensen konveksna (ili J-konveksna) ako zadovoljava uslov

na tom intervalu. Taj uslov je slabiji od uslova konveksnosti koji glasi

za sve

i sve

Funkcije koje su J-kionveksne, ali nisu konveksne, ne mogu se konstruisati (odnosno ne može se zapisati kako izgledaju), ali se može dokazati da postoje. Drugim rečima, iz uslova J-konveksnosti se ne može izvesti uslov konveksnosti. Ukoliko pretpostaviš samo J-konveksnost funkcije

na intervalu

koji se sastoji od više od jedne tačke, za

za koje je

za sve

tačno u slučaju kada su

racionalni brojevi.

Da bi funkcija

bila konkveksna na intervalu

potrebno je i dovoljno da na njemu bude J-konveksna i da bude neprekidna u njegovoj unutrašnjosti. Takođe, sa konveksnošću funkcije

na intervalu

ekvivalentno je da je ta funkcija J-konveksna na njemu i da za svako

postoji okolina

tačke

takva da je funkcija

ograničena na skupu

Nedeljko Stefanovic

^{14.06.2005. u 10:56}

Nedeljko
Nedeljko Stefanovic

Član broj: 314
Poruke: 2013
*.dial.InfoSky.Net.

Profil

Re: [Teoreme] Nejednakosti

^{14.06.2005. u 11:05}

Takođe, koveksna funkcija ne mora biti nijedanput (a kamoli dvaput) diferencijabilna. Međutim, ako je funkcija na nekom intervalu dva puta diferencijabilna, onda je ona na njemu konveksna ako i samo ako joj je drugi izvod nenegativan.

Nedeljko Stefanovic

^{14.06.2005. u 11:05}

uranium
Beograd

Član broj: 60097
Poruke: 504
*.eunet.yu.

Jabber: uranium@elitesecurity.org
ICQ: 324386953

Profil

Re: [Teoreme] Nejednakosti

^{16.06.2005. u 22:56}

Citat:

Nedeljko: Funkcije koje su J-konveksne, ali nisu konveksne, ne mogu se konstruisati (odnosno ne može se zapisati kako izgledaju), ali se može dokazati da postoje.Drugim rečima, iz uslova J-konveksnosti se ne može izvesti uslov konveksnosti.

Ovo je vrlo zanimljivo

Ako sam dobro shvatio, kad bi uslov konveksnosti bio izvodljiv iz uslova J-konveksnosti, onda bi te (postojeće a neiskazive) f-je bile zapisive?
Kada kažeš izvodljiv, da li misliš na konstrukciju formalnog dokaza?

Nedeljko, da li bi mogao, ako te ne mrzi, da elaboriraš ovo malo?

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

^{16.06.2005. u 22:56}

Nedeljko
Nedeljko Stefanovic

Član broj: 314
Poruke: 2013
*.dial.InfoSky.Net.

Profil

Re: [Teoreme] Nejednakosti

^{17.06.2005. u 00:09}

Formalno se dokazuje da postoje J-konveksne funkcije koje nisu konveksne. Međutim, tu se koristi Cornova lema i samo se dokazuje da takva funkcija postoji. Sama funkcija se ne konstruiše.

Recimo, polje R možeš posmatrati kao vektorski prostor nad poljem Q kao poljem skalara. Dimenzija vektorskog prostora R nad poljem skalara Q je beskonačna (čak kontinuum). Pomoću Cornove leme dokazuje se da svaki vektorski prostor (nad bilo kojim poljem skalara) ima bazu. Neka su A i B dve baze vekstorskog prostora R nad poljem skalara Q takve da

. Takođe pomoću Cornove leme dokazuje se da su svake dve baze istog vektorskog prostora ekvipotentne (postoji bijekcija između njih). Sve ovo je dokazano na primer u algebri od Veselina Perića. Svako preslikavanje baze vektorskog prostora u neki (moguće i drugi) vektorski prostor nad istim poljem skalara se može na tačno jedan način dopuniti do linearnog preslikavanja između tih vektorskih prostora. To preslikavanje je 1-1 ako i samo ako je slika baze (kao familije vektora) linearno nezavisna familija vektora, odnosno to preslikavanje je na ako i samo ako je slika baze generatrisa prostora kodomena.

Presliakaj bijektivno bazu A na bazu B uz jedine uslove da se jedinica slika u sebe i da se to preslikavanje ne svede na identitet (ako su baze A i B iste). To preslikavanje ćeš moći da dopuniš do linearne (u odnosu na polje skalara Q) bijekcije f vektorskog prostora R na sebe samog koje se na Q svodi na identitet. Ne samo da će f biti J-konveksno, nego će umesto nejednakosti važiti jednakost. Međutim, ako bi bilo konveksno, bilo bi i neprekidno, pa bi zbog svođenja na identitet na Q bilo identitet i na R, što je u suprotnosti sa našim izborom presliakvanja koje bar jedan bazni vektor ne slika u sebe. Ako ti se ne sviđa što funkcija nije strogo J-konveksna, možeš da je sabereš sa

Nedeljko Stefanovic

^{17.06.2005. u 00:09}

uranium
Beograd

Član broj: 60097
Poruke: 504
*.eunet.yu.

Jabber: uranium@elitesecurity.org
ICQ: 324386953

Profil

Re: [Teoreme] Nejednakosti

^{17.06.2005. u 02:38}

Sjajno si to objasnio!

Mnogo ti hvala!!

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

^{17.06.2005. u 02:38}

Metalnem
Nemanja Mijailovic

Član broj: 6757
Poruke: 184
213.244.197.*

Profil

Re: [Teoreme] Nejednakosti

^{23.06.2005. u 20:52}

Evo necega sto se ne moze nazvati nejednakoscu, ali je cesto veoma korisno pri dokazivanju nejednakosti:

Lagranzov metod multiplikatora

Neka su na otovorenom skupu

definisane neprekidno diferencijabilne funkcije

. Ako funkcija

pri uslovima

ima lokalni ekstremum u tacki

, tada postoje realni brojevi

, takvi da funkcija

u tacki

ima izvod 0 po svakoj od

koordinata.

Teorema opisuje neophodne uslove ekstremuma koji ne moraju biti i dovoljni, ali u zadacima nije ni potrebno vise od toga.

Primer:
Dat je trougao

sa duzinama stranica

. Odrediti tacku

unutar tog trougla tako da je vrednost izraza

minimalna, ako su

rastojanja tacke

redom pravih

.

Posto je

, ovde mozemo formirati Lagranzovu funkciju

sa jednim multiplikatorom

. Izjednacavanje njenih parcijalnih izvoda sa nulom daje uslove

, sto zajedno sa uslovom

daje sistem od cetiri jednacine iz kojih se odredjuje

. Posto je

(gde je

centar upisanog kruga), jasno nam je da je trazena tacka centar upisanog kruga u dati trougao.

^{23.06.2005. u 20:52}

Nedeljko
Nedeljko Stefanovic

Član broj: 314
Poruke: 2013
*.rcub.bg.ac.yu.

Profil

Re: [Teoreme] Nejednakosti

^{24.06.2005. u 20:07}

Ispustio si jedan uslov iz te teoreme, a to je da matrica

ima rang jednak

u tački

Nedeljko Stefanovic

^{24.06.2005. u 20:07}

Metalnem
Nemanja Mijailovic

Član broj: 6757
Poruke: 184
*.vdial.verat.net.

Profil

Re: [Teoreme] Nejednakosti

^{24.06.2005. u 20:11}

Interesantno, posebno zato sto to ne pise u knjizi iz koje sam izvukao ovu teoremu.

^{24.06.2005. u 20:11}

Nedeljko
Nedeljko Stefanovic

Član broj: 314
Poruke: 2013
*.dial.InfoSky.Net.

Profil

Re: [Teoreme] Nejednakosti

^{24.06.2005. u 22:18}

Pogledaj neku knjigu u kojoj je teorema dokazana, pa vidi šta se koristi u dokazu.

Nedeljko Stefanovic

^{24.06.2005. u 22:18}

Nedeljko
Nedeljko Stefanovic

Član broj: 314
Poruke: 2013
*.dial.InfoSky.Net.

Profil

Re: [Teoreme] Nejednakosti

^{27.12.2005. u 09:39}

Pošto ne mogu da menjam poruke starije od 60 dana, a uočio sam grešku prilikom kucanja jedne od svojih prethodnih poruka, ispravljam je na ovaj način.

Jedna mala ispravka:

Citat:

cassey: [Funkcija

je konveksna na intervalu

ako za svako par brojeva

vazi

, sto je ekvivalentno sa uslovom

Ako je funkcija

na nekom intervalu

definisana onda se za nju kaže da je Jensen konveksna (ili J-konveksna) ako zadovoljava uslov

na tom intervalu. Taj uslov je slabiji od uslova konveksnosti koji glasi

za sve

i sve

na intervalu

koji se sastoji od više od jedne tačke, za

za koje je

moći ćeš da dokažeš relaciju

za sve

tačno u slučaju kada su

racionalni brojevi.

Da bi funkcija

bila konkveksna na intervalu

potrebno je i dovoljno da na njemu bude J-konveksna i da bude neprekidna u njegovoj unutrašnjosti. Takođe, sa konveksnošću funkcije

na intervalu

ekvivalentno je da je ta funkcija J-konveksna na njemu i da za svako

postoji okolina

tačke

takva da je funkcija

ograničena na skupu

Nedeljko Stefanovic

^{27.12.2005. u 09:39}