Ne baš tako, daleko bilo da je svaki skup aksioma nekonzistentan i neodlučiv.
Postoje dve Gödelove teoreme nekompletnosti, od kojih se najšešće pod imenom "Gödelova teorema" misli na prvu. Ona glasi: "
U svakoj formalnoj konzistentnoj teoriji u kojoj su osnovne aritmetičke činjenice dokazive moguće je naći tačno tvrđenje koje se ne može dokazati". Da su osnovne aritmetičke činjenice dokazive znači da posmatrana teorija dozvoljava da na neki način definišemo skup prirodnih brojeva. Napomena:
nije dovoljno da model posmatrane teorije bude nadskup prirodnih brojeva, primera radi realni i kompleksni brojevi imaju prirodne brojeve kao podskup, a ipak je njihova aksiomatizacija kompletna. Dalje, Gödel je zapravo dokazao nešto slabije tvrđenje - samo za omega-konzistentne teorije (svaka omega-konzistentna teorija mora biti konzistentna, ali obrnuto ne važi), a pojačanje u vidu činjenice da je konzistentnost dovoljna je nekoliko godina kasnije pokazao John Barkley Rosser Sr.
Da vidimo kako otprilike teče Gödelov dokaz (naravno, u potpunosti neformalan pristup). Otprilike rečeno, u svom radu on dolazi do tvrđenja koje kaže:
"Ovo tvrđenje je nedokazivo".
Ukoliko je tvrđenje zaista nedokazivo onda je ono i tačno (jer to zapravo tvrdimo), i pokazali smo to što nam treba. Ukoliko bi, pak, ovo tvrđenje bilo dokazivo onda bi bilo netačno pa bi sistem aksioma zapravo bio nekonzistentan, a to smo isključili uslovom. E sad, kako Gödel tačno konstruiše ovakvo tvrđenje bi mogao da bude predmet diskusije na još mnogo strana, i jedini način da ti pomognem ukoliko te ovo zaista zanima je da ti prosledim originalni dokaz na nemačkom ili engleski prevod pa sam pročitaj.
Druga Gödelova teorema nekompletnosti, vrlo bliska prvoj, kaže: "
Svaka formalna teorija sposobna da formuliše sopstvenu konzistenciju može dokazati svoju konzistenciju ako i samo ako je nekonzistentna". Ovo ujedno daje negativan odgovor na drugi Hilbertov problem koji se bavi pitanjem može li se dokazati da su aksiome logike konzistentne, ali pošto stičem osećaj da odlazim predaleko od teme ovde ću stati uz napomenu da slobodno pitaš za dodatno obrazloženje nekog detalja koji te interesuje (znam da nisam preterano razumljivo izložio sve ovo), a ja ću se potruditi da odgovorim što bolje mogu.
Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.
Gedelove teoreme
