[es] - Izomorfizmi matematičkih struktura.

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.3gnet.mts.telekom.rs.

+2790 Profil

^{12.07.2013. u 14:37 - pre 131 meseci}

Danas nam je divan dan, divan dan, divan dan,
danas nam je Petrovdan, Petrovdan, Petrovdan.

Evo jednog zadatka. Naći sve parove prirodnih brojeva

takve da su grupe

izomorfne.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.dynamic.isp.telekom.rs.

+2790 Profil

Re: Izomorfizmi matematičkih struktura.

^{12.07.2013. u 16:22 - pre 131 meseci}

Isto to uraditi za merljive prostore sa Lebegovom merom na

. Pod izomorgizmom se podrazumeva bijekcija

takva da je za

ispunjeno da je

merljiv u

akko je

merljiv u

i da u slučaju merljivosti Lebegova mera od

bude jednaka Lebegovoj meri od

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.3gnet.mts.telekom.rs.

+2790 Profil

Re: Izomorfizmi matematičkih struktura.

^{13.07.2013. u 08:18 - pre 131 meseci}

Samo da kažem da je u oba slučaja odgovor skup svih parova prirodnih brojeva.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.3gnet.mts.telekom.rs.

+2790 Profil

Re: Izomorfizmi matematičkih struktura.

^{13.07.2013. u 19:04 - pre 131 meseci}

Ima li interesovanja za ovakve zadatke, ili da dam lakše ili nekog drugog tipa?

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

bojan_bozovic

Član broj: 29028
Poruke: 3292
2002:b295:8dcd::b295.*

Sajt: angelstudio.org

+392 Profil

Re: Izomorfizmi matematičkih struktura.

^{13.07.2013. u 19:21 - pre 131 meseci}

Hajde, ja da pokušam...

Prvo, imamo grupu n-torki (Rn,+) i grupu m-torki (Rm,+) i neka je m=|=n

Neka je n>m, imamo da je F:Rn->Rm najviše surjektivna jer postoji makar jedno n za koje postoji n-torka iz Rn bez slike u Rm (a svaka m-torka iz Rm ima original u Rn, pošto mora biti bijektivna), i to upravo svaka takva da je n>m, a ako je n<m F:Rn->Rm je najviše injektivna, jer postoji m takvo da postoji m-torka iz Rm bez originala iz Rn, i to baš svaka pri m>n ( a svaki original iz Rn mora imati sliku, ako je bijekcija).

Neka je n=m, imamo bijekciju F:Rn->Rn definisanu sa F(x1...xn)=(x1...xn) koja ispunjava zahtev.

Asocijativnost, zatvorenost, postojanje neutrala, i inverza sve bi trebalo da sledi iz bijektivnosti F, Sad ću da probam to da dokažem.

Kako je Rn grupa, važi za x,yERn postoji (x+y)ERn - zatvorenost. Kako je F bijektivna, za svako x+yERn postoji baš jedno F(x+y)ERn.
U Rn imamo neutral 0: x+0=x za svako xERn. Zato je i F(x)=F(x+0)=F(x)+F(0), pa je F(0)=0.
U Rn imamo inverz (-x) za svaki xERn takvo da je (-x)+x=0. onda je: F(0)=F(-x+x)=F(-x)+F(x)=-F(x)+F(x).
Asocijativnost, (x+y)+z=x+(y+z).
F((x+y)+z)=F(x+y)+F(z)=F(x+y)+F(-y+y+z)=F(x)+F(y)+F(-y)+F(y+z)=F(x)+F(y+z)=F(x+(y+z)).

_{[Ovu poruku je menjao bojan_bozovic dana 13.07.2013. u 21:49 GMT+1]}

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.opera-mini.net.

+2790 Profil

Re: Izomorfizmi matematičkih struktura.

^{13.07.2013. u 20:33 - pre 131 meseci}

se moze posmatrati kao vektorski prostor nad poljem racionalnih brojeva dimenzije kontinuum. Vektorski prostori iste dimenzije (makar to bio i beskonacan kardinal, ali isti) su izomorfni.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.3gnet.mts.telekom.rs.

+2790 Profil

Re: Izomorfizmi matematičkih struktura.

^{14.07.2013. u 11:17 - pre 131 meseci}

Citat:

bojan_bozovic: Neka je n>m, imamo da je F:Rn->Rm najviše surjektivna

ako je n<m F:Rn->Rm je najviše injektivna

Ovo nije tačno. Bijekcija između

postoji.

Kao što sam dokazao u prethodnoj poruci (dobro, fali račun dimenzije vektorskog prostora, što se može dodati ako neko bude pitao), izomorfizam postoji za sve

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

bojan_bozovic

Član broj: 29028
Poruke: 3292
2002:b295:8dcd::b295.*

Sajt: angelstudio.org

+392 Profil

Re: Izomorfizmi matematičkih struktura.

^{14.07.2013. u 11:55 - pre 131 meseci}

Kako postoji bijekcija F:Rn->Rm pri n>m? Ako dokaz ne valja, objasni zašto, molim. Ako je n>m svaki element iz kodomena može imati original u Rn, ali ne važi da svaki element domena ima sliku u Rm (pa nije injektivno), bar ja mislim, i upravo zato bi i trebalo da bude dim(Rn)>dim(Rm) pri n>m (ako uvedemo i skalarni proizvod kao u vektorskom prostoru).

Gde grešim?

_{[Ovu poruku je menjao bojan_bozovic dana 14.07.2013. u 13:12 GMT+1]}

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.3gnet.mts.telekom.rs.

+2790 Profil

Re: Izomorfizmi matematičkih struktura.

^{14.07.2013. u 14:30 - pre 131 meseci}

Uzmi ovakvo preslikavanje

:

Neka je

.

Pritom za svako

postoji

takvo da je

i postoji

takvo da za svako

važi

. To znači da je navedena suma dekadni razvoj broja

koja se ne završava devetkama, a takav razvoj proizvoljnog realnog broja je jedinstven, tj. niz

jednoznačno određen brojem

. Isto pretpostavimo za niz

.

Neka je

je jedna od mogućih injekcija.

Naravno, ova injekcija nije homomorfizam (što se traži u zadatku), ali dokazuje da postoje injektivna preslikavanja iz

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.3gnet.mts.telekom.rs.

+2790 Profil

Re: Izomorfizmi matematičkih struktura.

^{14.07.2013. u 23:19 - pre 131 meseci}

Ako ti i dalje nije jasno, slobodno napiši zašto misliš da preslikavanje iz R² u R ne može da bude injektivno. Ako je linearno u odnosu na koeficijente iz R, onda svakako ne može biti injektivno. Međutim, nisu sva preslikavanja linearna.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

Sonec

Član broj: 284879
Poruke: 892

+332 Profil

Re: Izomorfizmi matematičkih struktura.

^{16.07.2013. u 18:23 - pre 131 meseci}

Hoce li nam pomoci za prvi zadatak ako gledamo

kao vektorski prostor nad poljem

i onda da petljamo nesto (a cini mi se ne preterano komplikovano) sa Hamelovom bazom (a onda se u pricu ukljucuje Aksioma izbora i svima nam je veselo) ili postoji neka konkretnija konstrukcija datog izomorfizma?

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.3gnet.mts.telekom.rs.

+2790 Profil

Re: Izomorfizmi matematičkih struktura.

^{16.07.2013. u 18:29 - pre 131 meseci}

Već sam to napisao.

Citat:

Nedeljko:

se moze posmatrati kao vektorski prostor nad poljem racionalnih brojeva dimenzije kontinuum. Vektorski prostori iste dimenzije (makar to bio i beskonacan kardinal, ali isti) su izomorfni.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

Sonec

Član broj: 284879
Poruke: 892

+332 Profil

Re: Izomorfizmi matematičkih struktura.

^{16.07.2013. u 18:31 - pre 131 meseci}

E, vidi stvarno, nisam video (nisam ni gledao sta ste pisali (shame on me)). Dobro onda. Brm brmm

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.3gnet.mts.telekom.rs.

+2790 Profil

Re: Izomorfizmi matematičkih struktura.

^{16.07.2013. u 22:23 - pre 131 meseci}

Hajde da dam hint za drugi.

se može predstaviti kao prebrojiva disjunktna unija slika skupa

pri translacijama. Dakle, treba problem rešiti za slučaj Lebegove mere na njima.

Ako je neki prostor snabdeven sigma aditivnom merom u kojoj su tačke mere nula, onda je taj prostor izomorfan prostoru koji se od tog dobija izbacivanjem najviše prebrojivog skupa tačaka.

Na skupu

se može uvesti najmanja sigma aditivna kompletna mera koja ispunjava sledeći uslov: Za svaki izbor različitih prirodnih brojeva

i izbor vrednosti

je mera skupa

je jednaka

. Ona se može shvatiti i kao normiana mera na Kantorovom skupu (dakle, ne nasleđena od Lebegove) u kojoj podudarni delovi imaju istu meru, a skup tačaka Kantorovog skupa druge vrste je izomorfan sa

sa izbačenim tačkama oblika

snabdevenim Lebegovom merom. Idempotentnost od

se kudikamo lakše dokazuje.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu