Navigacija
Lista poslednjih: 16, 32, 64, 128 poruka.

Konusni presek kroz 5 tačaka

[es] :: Matematika :: Konusni presek kroz 5 tačaka

[ Pregleda: 3828 | Odgovora: 15 ] > FB > Twit

Postavi temu Odgovori

Autor

Pretraga teme: Traži
Markiranje Štampanje RSS

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
195.222.97.*



+2789 Profil

icon Konusni presek kroz 5 tačaka19.07.2009. u 09:27 - pre 178 meseci
Pretpostavimo da je dato 5 tačaka u ravni. Dokazati bez upotrebe Paskalove ili Štajnerove teoreme da ne postoje dva nedegenerisana konusna preseka koja prolaze kroz tih 5 tačaka.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
 
Odgovor na temu

Cabo
Lokanje u bircuzu

Član broj: 10942
Poruke: 684
*.vdial.verat.net.



+5 Profil

icon Re: Konusni presek kroz 5 tačaka19.07.2009. u 16:26 - pre 178 meseci
Šta je dozvoljeno? Da li je ravan u projektivnom prostoru?
 
Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.dynamic.sbb.rs.



+2789 Profil

icon Re: Konusni presek kroz 5 tačaka20.07.2009. u 07:31 - pre 178 meseci
Recimo, radi se u proširenoj euklidskoj ravni, a definicija konike je preko algebarske jednačine drugog reda.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
 
Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.dynamic.sbb.rs.



+2789 Profil

icon Re: Konusni presek kroz 5 tačaka20.07.2009. u 11:05 - pre 178 meseci
Evo, u čemu je stvar:

Najpre sam hteo da nađem algebarsku interpretaciju Paskalove teoreme i dokažem je na algebarski način. Radio sam u homogenim koordinatama. Uslov da vektor koji predstavlja tačku i vektor koji predstavlja pravu odgovaraju incidentnim objektima (tačka pripada pravoj) je zapravo ortogonalnost vektora homogenih koordinata (tačke i prave). Stoga se vektor koji predstavlja pravu kroz dve tačke može dobiti kao vektorski proizvod (u R3, gde leže vektori homogenih koordinata) vektora koji predstavljaju tačke, tj AB = A x B. Slično tome je presečna tačka pravih zapravo predstavljena vektorskim proizvodom vektora kojima su predstavljene prave. Uslov kolinearnosti triju tačaka i konkurentnosti triju pravij je jednakost mešovitog proizvoda nuli, tako da je algebarski zapis Paskalove teoreme

.

Odnosno nakon primene formula za dvostruki vektorski proizvod



ili posle sređivanja

(*) .

Dakle, ovu jednskost treba dokazati. Pretpostavimo da su tačke 1,...,5 fiksne, a da tačka 6 ima opšte koordinate . (*) je algebarska jednačina najviše drugog reda po . Ona je ili trivijalna jednačina 0=0 (koja je svakako tačna) ili jednačina nekog konusnog preseka, degenerisanog ili nedegenerisanog. Lako se pokayuje da se zamenom tačke 6 bilo kojom od tačaka 1,...,5 dobija identitet, to jest, sve od tačaka 1,...,5 zadovoljavaju jednačinu (*), pa je (*) ili trivijalna jednačina 0=0 ili jednačina konusnotg preseka (degenerisanog ili nedegenerisanog), koji sadrži tačke 1,...,5. U slučaju degenerisane konike, među bilo kojih njenih pet tačaka mogu izabrati tri kolinearne, dok nedegenerisan konusni presek nema trojki kolinearnih tačaka. Stoga, pošto tačke 1,...,5 leže na nedegenerisanom konusnom preseku od koga smo pošli, među tačkama 1,...,5 nema triju kolinearnih, pa ako jednačina (*) nije trivijalna, onda je to jednačina nedegenerisanog konusnog preseka koji prolazi kroz tačke 1,...,5. Ukoliko je takav konusni presek jedinstven, onda je to naš polazni konusni presek, kome pripada i tačka 6, pa samim tim važi (*).

Zašto me ovo zanima? Pa, da bih pokušao da nađem uopštenja Paskalove teoreme, na primer za n-dimenzioni slučaj ili neka druga.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
 
Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.dynamic.sbb.rs.



+2789 Profil

icon Re: Konusni presek kroz 5 tačaka20.07.2009. u 11:06 - pre 178 meseci
Ako je nekome lakše, može slobodno da koristi definiciju konusnog preseka preko polariteta.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
 
Odgovor na temu

Cabo
Lokanje u bircuzu

Član broj: 10942
Poruke: 684
*.mi.sanu.ac.rs.



+5 Profil

icon Re: Konusni presek kroz 5 tačaka20.07.2009. u 14:20 - pre 178 meseci
Čisto da se javim da sam skinuo tvoj odgovor na fleš, pa ću ga pogledati kod kuće.
 
Odgovor na temu

Cabo
Lokanje u bircuzu

Član broj: 10942
Poruke: 684
*.vdial.verat.net.



+5 Profil

icon Re: Konusni presek kroz 5 tačaka21.07.2009. u 17:17 - pre 178 meseci
Može li se koristiti Štajnerova definicija krive drugog reda? Kako glasi definicija preko polariteta?

Koliko sam shvatio, cilj je pokazati da je kriva drugog reda incidentna sa 5 tačaka jedinstvena.
 
Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.dynamic.sbb.rs.



+2789 Profil

icon Re: Konusni presek kroz 5 tačaka22.07.2009. u 08:00 - pre 178 meseci
Ja sam itekako pozaboravljao ove stvari, ali ako izvedeš Štajnera iz polariteta, onda može da se koristi, ali mi u tom slučaju ništa ne znači bez dokaza Štajnera.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
 
Odgovor na temu

Cabo
Lokanje u bircuzu

Član broj: 10942
Poruke: 684
*.vdial.verat.net.



+5 Profil

icon Re: Konusni presek kroz 5 tačaka22.07.2009. u 15:27 - pre 178 meseci
Malo podsećanje:

Definicija (Štajner): Kriva drugog reda je skup presečnih tačaka parova odgovarajućih pravih dvaju pramenova, među kojima je uspostavljeno projektivno preslikavanje.
 
Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
195.222.97.*



+2789 Profil

icon Re: Konusni presek kroz 5 tačaka22.07.2009. u 20:58 - pre 178 meseci
Ma, meni je bitan sadržaj. OK, ako prihvatimo tu definiciju, onda dokaži da je skup samokonjugovanih tačaka bilo kog polariteta zadovoljava i dalje dokaži iz te definicije da je konusni presek kroz pet tačaka jedinstven.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
 
Odgovor na temu

Cabo
Lokanje u bircuzu

Član broj: 10942
Poruke: 684
*.vdial.verat.net.



+5 Profil

icon Re: Konusni presek kroz 5 tačaka24.07.2009. u 16:46 - pre 178 meseci
Baš ovih dana spremam usmeni iz Nacrtne. Ali još nisam došao do tog dela, nemoj mi zameriti ako budem malo kasnio sa odgovorom. Pogledaću ako budem imao vremena.
 
Odgovor na temu

Cabo
Lokanje u bircuzu

Član broj: 10942
Poruke: 684
*.vdial.verat.net.



+5 Profil

icon Re: Konusni presek kroz 5 tačaka29.07.2009. u 16:27 - pre 178 meseci
Da vidimo da li sam ukapirao bar sve ove definicije.

Definicija 1. Polaritet je korelacija (projektivno preslikavanje koje slika projektivni prostor na njemu dualni, npr. tačke na hiperravni), koja je zadana simetričnom matricom . Polaritet preslikava kolinearne tačke u hiperravni jednog pramena i obrnuto.

Definicija 2. Tačke i (koje ne pripadaju hiperpovrši ) su harmonijski konjugovane u odnosu na hiperpovrš ako je .


Pretpostavljam da je tačka samokonjugovana ako pripada hiperpovrši?

Ako je tako, kolinearne samokonjugovane (koje pripadaju hiperpovrši) tačke polariteta se tim polaritetom slikaju na hiperravni nekog pramena, recimo [što će reći, na primer, da su tangente kroz dve tačke na hiperpovrši paralelne ako je prava kojoj te tačke pripadaju dijametar.] Dalje, svaka takva tačka je presek dve prave koje pripadaju raznim pramenovima, recimo i , između kojih je uspostavljeno projektivno preslikavanje (ali, čim to preslikavanje slika pramen na pramen, ono nije korelacija, pa ni polaritet).

Uh... za sad nemam pojma kako dalje?


[Ovu poruku je menjao Cabo dana 29.07.2009. u 18:36 GMT+1]
 
Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.dynamic.sbb.rs.



+2789 Profil

icon Re: Konusni presek kroz 5 tačaka30.07.2009. u 10:50 - pre 178 meseci
Ako polaritet P pridružuje tačkama ravni prave te ravni, onda je tačka A samokonjugovana ako leži na svojoj slici, tj. pravoj P(A).
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
 
Odgovor na temu

Cabo
Lokanje u bircuzu

Član broj: 10942
Poruke: 684
*.mi.sanu.ac.rs.



+5 Profil

icon Re: Konusni presek kroz 5 tačaka30.07.2009. u 13:28 - pre 178 meseci
Citat:
Nedeljko: Ako polaritet P pridružuje tačkama ravni prave te ravni, onda je tačka A samokonjugovana ako leži na svojoj slici, tj. pravoj P(A).


Tj. onda je tangentna hiperravan površi kojoj tačka pripada.
 
Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
77.46.245.*



+2789 Profil

icon Re: Konusni presek kroz 5 tačaka30.07.2009. u 19:14 - pre 178 meseci
Da.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
 
Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
79.101.225.*



+2789 Profil

icon Re: Konusni presek kroz 5 tačaka20.08.2009. u 20:06 - pre 177 meseci
Ako ne znaju matematičari, zna wikipedia

http://en.wikipedia.org/wiki/C...ection#Intersecting_two_conics

Ovo je rešenje mog problema: elementaran dokaz da dve konike ne mogu imati više od 4 zajedničke tačke.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
 
Odgovor na temu

[es] :: Matematika :: Konusni presek kroz 5 tačaka

[ Pregleda: 3828 | Odgovora: 15 ] > FB > Twit

Postavi temu Odgovori

Navigacija
Lista poslednjih: 16, 32, 64, 128 poruka.