[es] - Dva (laka?) pitanja o faktorijalu

Lobacev
Lobacev Ski
Earth

Član broj: 76551
Poruke: 84
*.erstebank.co.yu.

Profil

^{13.04.2006. u 09:57}

Koliko iznosi:

1. e! (e faktorijal, ili 2.71... faktorijal)?
2. i! (nije samo igra znakova, ovo znači i - imaginarna jedinica faktorijal)

^{13.04.2006. u 09:57}

darkon
Darko Novakovic
Istrazivac, IMP
Beograd

Član broj: 13647
Poruke: 161
*.rcub.bg.ac.yu.

Jabber: darkon@elitesecurity.org

Profil

Re: Dva (laka?) pitanja o faktorijalu

^{13.04.2006. u 11:48}

Faktorijel je definisan samo na skupu

(skup prirodnih brojeva proširen nulom),
gde je

, po definiciji.
Prema tome, gornje pitanje nema mnogo smisla.

"Verovatno da preko nje mnoge sile kontrolišu mnogo šta..." - GANDOR
"Kada bi ljudski mozak bio tako jednostavan da bismo mogli da ga shvatimo, onda bismo mi bili toliko glupi da ga ipak ne bismo mogli shvatiti."

^{13.04.2006. u 11:48}

uranium
Beograd

Član broj: 60097
Poruke: 506
85.222.163.*

Jabber: uranium@elitesecurity.org
ICQ: 324386953

Profil

Re: Dva (laka?) pitanja o faktorijalu

^{13.04.2006. u 13:08}

Faktorijel se može neprekidno produžiti na skup

.
To produženje se zove gama f-ja:

.

Važe relacije:

(na celom domenu)

specijalno:

za svako

.

Dakle, mogli bi da prihvatimo da je

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

^{13.04.2006. u 13:08}

Lobacev
Lobacev Ski
Earth

Član broj: 76551
Poruke: 84
*.erstebank.co.yu.

Profil

Re: Dva (laka?) pitanja o faktorijalu

^{13.04.2006. u 13:28}

Baš lepo. A kakav je odgovor na pitanje 2?

^{13.04.2006. u 13:28}

darkon
Darko Novakovic
Istrazivac, IMP
Beograd

Član broj: 13647
Poruke: 161
*.rcub.bg.ac.yu.

Jabber: darkon@elitesecurity.org

Profil

Re: Dva (laka?) pitanja o faktorijalu

^{13.04.2006. u 14:50}

Da, zaboravio sam na gama funkciju.

Međutim, ona je definisana u opštem slučaju u skupu kompleksnih brojeva, ali da bi odgovarajući integral apsolutno konvergirao, mora realan deo kompleksnog broja

biti pozitivan. Ovde je on jednak nuli, pa nisam siguran da li se u ovom slučaju integral može izračunati. U svakom slučaju treba to baciti na papir pa videti.

^{13.04.2006. u 14:50}

uranium
Beograd

Član broj: 60097
Poruke: 506
*.eunet.yu.

Jabber: uranium@elitesecurity.org
ICQ: 324386953

Profil

Re: Dva (laka?) pitanja o faktorijalu

^{14.04.2006. u 21:25}

Dakle, dovoljno je da nađemo

.

U knjizi On a Class of Incomplete Gamma Functions with Applications , M. Aslam Chaudhry, Syed M. Zibair postoji sledeći rezultat:

,
pri čemu je

(Euler-Mascheroni-jeva konstanta)

tj. hiperbolički kosekans.

Je l' ima neki dobrovoljac da uvrsti

_{[Ovu poruku je menjao uranium dana 14.04.2006. u 22:26 GMT+1]}

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

^{14.04.2006. u 21:25}

Lobacev
Lobacev Ski
Earth

Član broj: 76551
Poruke: 84
*.erstebank.co.yu.

Profil

Re: Dva (laka?) pitanja o faktorijalu

^{17.04.2006. u 07:02}

Ostaje samo da proverimo da li postoji još neka funkcija f(z) za koju važi da je

f(z+1)=z*f(z)

ili je Gama-funkcija jedina sa ovakvom osobinom?

_{[Ovu poruku je menjao Lobacev dana 17.04.2006. u 10:13 GMT+1]}

^{17.04.2006. u 07:02}

uranium
Beograd

Član broj: 60097
Poruke: 506
*.eunet.yu.

Jabber: uranium@elitesecurity.org
ICQ: 324386953

Profil

Re: Dva (laka?) pitanja o faktorijalu

^{17.04.2006. u 13:39}

U knjizi Functions of One Complex Variable, J. B. Conway, postoji dokaz Bohr-Mollerup-ove teoreme kojom se najčešće i karakteriše gama f-ja :

Neka je

f-ja definisana na

tako da je

za svako

.
Ako

ima sledeće osobine:

1.

je konveksna f-ja
2.

za svako

onda je

.

Ovo naravno ne daje jasan odgovor na tvoje pitanje (a odgovor na "ili - deo" je u stvari "Ne!"

)

Posmatrajmo f-ju

(

)
Očigledno je da važi:

1.

_{[Ovu poruku je menjao uranium dana 18.04.2006. u 03:42 GMT+1]}

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

^{17.04.2006. u 13:39}

Lobacev
Lobacev Ski
Earth

Član broj: 76551
Poruke: 84
*.erstebank.co.yu.

Profil

Re: Dva (laka?) pitanja o faktorijalu

^{17.04.2006. u 14:07}

Onda smo (više Uranijum nego "smo"), čini mi se, lepo apsolvirali generalisani faktorijal. Pošto je on povezan sa generalisanim izvodom (o kome je bilo već reči u nekoj od prethodnih tema), znači li to da možemo npr. naći i z-ti izvod neke funkcije (npr. sin(x)) gde je z kompleksan broj (npr. z=sqr(2)+i*sqr(2))?

^{17.04.2006. u 14:07}

emiraga

Član broj: 54285
Poruke: 32
217.199.143.*

Profil

Re: Dva (laka?) pitanja o faktorijalu

^{17.04.2006. u 18:55}

slicno je na temi: Lako pitanje o e-tom izvodu...

Ako je

, da li smijemo

prosiriti na

ili

^{17.04.2006. u 18:55}

uranium
Beograd

Član broj: 60097
Poruke: 506
*.eunet.yu.

Jabber: uranium@elitesecurity.org
ICQ: 324386953

Profil

Re: Dva (laka?) pitanja o faktorijalu

^{18.04.2006. u 02:38}

Odosmo u offtopic.

Nekoliko istorijskih činjenica:

• Jacob Bernoulli u jednom od pisama Leibniz-u postavlja pitanje: Kakav bi bio smisao Leibniz-ove teoreme o

-tom izvodu proizvoda dve f-je, ako

ne bi bilo celo?

• Leibniz u pismima L'Hôpital-u (iz 1695. god.) i Wallis-u (iz 1697. god.) primećuje da je moguće definisati izvod reda

.

• Prvi uspeh postiže Euler (1738. god.) zapažanjem da

ima smisla i kad

nije celo.

• Neke zanimljive predloge dao je i Laplace (1812. god.).

• Lacroix je izveo eksplicitnu formulu za

(1820. god.).

• Liouville (1822. god.) iznosi svoj prvi predlog definicije uopštenog izvoda, a u periodu od 1832. do 1837. objavljuje niz radova na tu temu - koji se zasnivaju na osnovnoj ideji: ako f-ju predstavimo u obliku

, onda je (uz izvesne pretpostavke o konvergenciji) uopšteni izvod jednak

(

).

Zaista nemam živaca da pišem ovo dalje - koga ova oblast stvarno zanima (a pri kraju je sa postdipl. iz Analize

) preporučio bih knjigu Integraly i proizvodnye drobnogo poryadka, S. G. Samko, A. A. Kilbas, O. I. Marichev.

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

^{18.04.2006. u 02:38}

emiraga

Član broj: 54285
Poruke: 32
217.199.142.*

Profil

Re: Dva (laka?) pitanja o faktorijalu

^{07.05.2006. u 20:10}

Da otisli smo OFFTOPIC, izvinjavam se zbog toga, ali mi dopustite samo da zavrsim misao :)

iz uranijumovog posta mozemo zakljuciti

poznato je

Primjenom na

dobijamo

_{[Ovu poruku je menjao emiraga dana 07.05.2006. u 21:10 GMT+1]}

^{07.05.2006. u 20:10}