[es] - Jos jedna lepa diofantska jednacina

Danica Porobic
Novi Sad

Član broj: 13847
Poruke: 28
212.200.6.*

Profil

^{10.03.2005. u 22:36}

Pozdrav svima!

Evo jedne interesantne jednacine: x^5 = y^2 + 1. Resiti u Z.

^{10.03.2005. u 22:36}

Bojan Basic
Novi Sad

SuperModerator
Član broj: 6578
Poruke: 3637
*.dialup.neobee.net.

Jabber: bojan_basic@elitesecurity.org
ICQ: 305820253

Profil

Re: Jos jedna lepa diofantska jednacina

^{14.03.2005. u 13:39}

Ja sam pokušavao elementarno ali nikako nisam tako uspeo da je rešim. Rešenje metodom "teške artiljerije" bi išlo otprilike ovako:

Imamo da je

. Pretpostavimo da činioci na desnoj strani imaju zajednički prost faktor

u domenu

. To bi značilo da taj faktor deli i njihovu razliku, tj.

, iz čega zaključujemo da je

, a to bi značilo da

, odnosno da je

paran broj. Dakle, u tom slučaju bi leva strana bila deljiva sa

, dok primenom jednostavne kongruencije imamo da desna strana pri takvom deljenju može davati ostatke

, ili

, što je kontradikcija. Sledi da su

uzajamno prosti u domenu

. Međutim, to dalje znači da je svaki od njih jednak petom stepenu nekog broja, odnosno:

Razmatranjem realnog i imaginarnog dela imamo:

Iz druge relacije sledi

. Ako je

uvrštavanjem toga u drugu relaciju dobijamo

a to je očigledno nemoguće. Preostaje nam mogućnost

i ubacivanjem ovoga u drugu relaciju imamo

, iz čega neposredno sledi

, pa smenom u prvoj relaciji imamo

što znači da je jedino rešenje početne jednačine

. Eto, prosto i jednostavno :)

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

^{14.03.2005. u 13:39}

Farenhajt
Goran Kapetanović
Beograd

Član broj: 78132
Poruke: 392
62.193.129.*

Profil

Diofantska jednačina

^{16.12.2006. u 00:04}

Naći celobrojna rešenja jednačine

^{16.12.2006. u 00:04}

Kolins Balaban
Kolins Balaban
Srednja bosna

Član broj: 4847
Poruke: 901
80.65.66.*

ICQ: 166070540

Profil

Re: Jos jedna lepa diofantska jednacina

^{16.12.2006. u 14:33}

Evo ja sam malo cackao, i uspio sam dobiti jedno rjesenje, ali nisam siguran da je to i jedino.
Data jednacina se moze napisati u sljecem oblik:

Desna strana jednacine, treba da je pozitivan broj, pa imamo sljedece sisteme jednacina
1.

Rjesavanjem sistema 1. imamo:

Rjesavanjem sistema 2. imamo:

, odakle se vidi da druga jednacina nema cjelobrojnih rjesenja.
Rjesavanjem sistema 3. imamo:

, odakle se vidi da y ne moze biti realno.
Rjesavanje sistema 4.
Iz prve jednacine imamo da je

druga jednacina postaje

posto je

i to je pozitivan broj, licno je i

, i to je pozitivan broj, pa prema tome, ta jednacina nema rjesenja u skupu cijelih brojeva.
Valjda nisam pogrijesio u rezonu. Pozz

MyCoNfa:
CPU:Intel C2D E8400@4GHz, 6MB+OCZ Vendetta 2
Maticna:Asus P5Q-Pro
RAM:G.SKILL 6GB DDR2 8000CL5D
Grafa:XFX GTX285,1GB
HDD:2xWD 320GB AAKS, stripe raid
DVD/RW:LG,SATA
SilverStone SST-ST50F 500W
CoolerMaster CM690
Samsung 2232BW
Tastatura A4Tech X7 G800
Stakor: A4Tech X7-755FS

^{16.12.2006. u 14:33}

Farenhajt
Goran Kapetanović
Beograd

Član broj: 78132
Poruke: 392
62.193.129.*

Profil

Re: Jos jedna lepa diofantska jednacina

^{16.12.2006. u 19:26}

Nije mi baš jasno zašto si raspodelio činioce onako kako si ih raspodelio i nikako drugačije. Teoretski, ako je

(tj. bilo kakav složen broj), ništa nas ne sprečava da stavimo npr.

, što otvara mnoštvo dodatnih mogućnosti koje treba obraditi.

^{16.12.2006. u 19:26}