odakle sledi da da mora biti . Posto je , , zakljucujemo da mora biti neparan broj tj. oblika . Znaci . Vazi da je (izuzev za , kada je , tj. nema resenja) pa mora biti tj. posto je mora biti . Posto je i mora biti neparan broj, tj. broj oblika . Tada je . Za imamo i odatle . Za vece od nule imamo da je sto ne vazi za levu stranu. Dakle jedino resenje je i .
Ne znam da li tvoj način negde vodi, no ako kažeš da si proverio i da može da se ide do beskonačnosti onda je valjda tako. Kao što sam već rekao, ima nekoliko različitih ideja (mada, istini za volju, nijedna koju ja znam ne uključuje neku briljantnu ideju već je sve manje-više šablon), pa mi recite da li je neko raspoložen da još malo razmišlja o ovom problemu ili da navedem neka od njih.
Za početak mala pomoć: postoje tačno dva rešenja ove jednačine (oba su ovde već navedena, samo treba dokazati da ih nema više).
Evo načina koje mi trenutno pada na pamet, ako nekog baš interesuje mogu porazmisliti pa pronaći još koji jer znam da sam ih ranije video nekoliko (od kojih su svi, uključujući i ovaj, bili manje-više iste složenosti).
Direktnom proverom za dobijamo dva moguća rešenja: . Sada razmatramo situaciju . Iz ovoga sledi pa sledi da je . Sada ispisujemo ostatke pri deljenju sa i nadamo se da u njihovom periodu neće biti . (ipak se pojavio!)
Hm.. Nije sve baš kako smo se nadali, ali srećom ovi problemi se mogu otkloniti jednim trikom koji se često koristi, a to je da promenimo moduo po kojem gledamo ostatke. Dakle, sad znamo da je . Sledi: (prosto se dobije kongruencijom)
Množeći ovo sa relacijom (takođe se lako dobija) imamo:
Sa druge strane imamo:
Zaključujemo da ni za jednu vrednost ne može biti kongruentno sa po modulu , iz čega sledi da za početnu pretpostavku dobijamo kontradikciju, što znači da su jedina rešenja jednačine parovi i .
[Zadatak]: Eksponencijalna Diofantova jednačina
.
