Citat:
TvrdiMijo:
za bojana su izgleda zadatci bili preteški ;)))))))))))))))))
ili je u međuvremenu našao pametniji poso;)))))))))))
Pa nisam rekao da ćeš odmah dobiti rešenja, to ja pitam čisto onako da vidim šta te interesuje pa tek onda ako slučajno i mene nešto zainteresuje treba da dođe do uzimanja papira i olovke, i još ako i to uzmem treba još samo da ti iskucam ovde rešenje, nije to sve baš tako mali posao :) A i stvarno su teški zadaci, moram da radim jedan mesečno, brže ne mogu :)
Evo jednog lepog:
Citat:
TvrdiMijo:
4.visina CD na hipotenuzu AB pravokutnog trokuta ABC je promjer kružmice k koja siječe katete AC i BC tog trokuta redom u točkama E i F.ako je G sjecište pravaca CD i EF i ako vrijedi CG^2=CE*CF
koliki su šiljasti kutovi trokuta ABC?
Postavimo kordinate na sledeći način:
![](https://static.elitesecurity.org/tex/abd5719af746a74e2a13f8a72e1e1a43.png)
Sledi:
![](https://static.elitesecurity.org/tex/fe7f869c7bb6aecdc433e4289726d1f3.png)
E sad treba primetiti da se tačka D nalazi i na pravoj
![](https://static.elitesecurity.org/tex/ae4b032c25510da12662adefcee3ad45.png)
i na pravoj
![](https://static.elitesecurity.org/tex/09bfcbe215365754682ef3709e77a073.png)
, pa se njene koordinate mogu pronaći kao rešenja ovog sistema od dve jednačine sa dve nepoznate po parametru
![](https://static.elitesecurity.org/tex/2b41105bb8e53d88c9981039a08eb3d8.png)
. Nakon rešavanja dobijamo:
![](https://static.elitesecurity.org/tex/d7525aebf51aa41de00f70f4407fde6d.png)
Pošto je duž
![](https://static.elitesecurity.org/tex/dc252a6d85360bb27c8ac54a92917f4b.png)
prečnik kružnice, njen centar (tačka
![](https://static.elitesecurity.org/tex/b9316d883234430e19260459ed76fa74.png)
) se nalazi na sredini (logično, zar ne? :)). Znači, imamo koordinate još jedne tačke:
![](https://static.elitesecurity.org/tex/72341085ecea7a101939229ecc508a83.png)
E sada tražimo koordinate tačke
![](https://static.elitesecurity.org/tex/e1f81d5c59d8196d311bf0551e65f9ae.png)
:
![](https://static.elitesecurity.org/tex/e5810cff8f01afced1dae3f05403d999.png)
Primetimo da i
![](https://static.elitesecurity.org/tex/e1f81d5c59d8196d311bf0551e65f9ae.png)
i
![](https://static.elitesecurity.org/tex/642ba4f25537df5c6ccfe052776ce6b5.png)
leže na pomenutoj kružnici, pa je rastojanje od
![](https://static.elitesecurity.org/tex/b9316d883234430e19260459ed76fa74.png)
do
![](https://static.elitesecurity.org/tex/642ba4f25537df5c6ccfe052776ce6b5.png)
jednako rastojanju od
![](https://static.elitesecurity.org/tex/b9316d883234430e19260459ed76fa74.png)
do
![](https://static.elitesecurity.org/tex/e1f81d5c59d8196d311bf0551e65f9ae.png)
. Znači, računica izgleda ovako:
![](https://static.elitesecurity.org/tex/ddf2c4132362597a825b9ca8a22ad265.png)
To znači:
![](https://static.elitesecurity.org/tex/bb6e5ce9ebc9a9b4ea0155074bfcb578.png)
Slično računamo koordinate tačke
![](https://static.elitesecurity.org/tex/fb0dd99711a2e9a17035378568893a73.png)
:
![](https://static.elitesecurity.org/tex/06cdf89771d3d6d629c08016ae89649c.png)
Primetimo da i
![](https://static.elitesecurity.org/tex/fb0dd99711a2e9a17035378568893a73.png)
i
![](https://static.elitesecurity.org/tex/642ba4f25537df5c6ccfe052776ce6b5.png)
leže na pomenutoj kružnici, pa je rastojanje od
![](https://static.elitesecurity.org/tex/b9316d883234430e19260459ed76fa74.png)
do
![](https://static.elitesecurity.org/tex/642ba4f25537df5c6ccfe052776ce6b5.png)
jednako rastojanju od
![](https://static.elitesecurity.org/tex/b9316d883234430e19260459ed76fa74.png)
do
![](https://static.elitesecurity.org/tex/fb0dd99711a2e9a17035378568893a73.png)
. Znači, računica izgleda ovako:
![](https://static.elitesecurity.org/tex/d320438b03b0db9b88926dc517407195.png)
To znači:
![](https://static.elitesecurity.org/tex/dc2a53f8867b767a3f78421a2b65f2eb.png)
E sada možemo izračunati čak i jednačinu prave
![](https://static.elitesecurity.org/tex/8169d3f36e7140ed889e01cc37c29869.png)
:
![](https://static.elitesecurity.org/tex/6053b37afa45cba4d07e8c2b92e4eded.png)
Pošto imamo jednačine pravih i
![](https://static.elitesecurity.org/tex/09bfcbe215365754682ef3709e77a073.png)
i
![](https://static.elitesecurity.org/tex/8169d3f36e7140ed889e01cc37c29869.png)
, a znamo da tačka
![](https://static.elitesecurity.org/tex/7685cc8a750e842f92459fdca3227b81.png)
pripada istovremeno i jednoj i drugoj pravoj (gle čuda :)), onda možemo rešavajući sistem od te dve jednačine sa dve nepoznate dobiti koordinate tačke
![](https://static.elitesecurity.org/tex/7685cc8a750e842f92459fdca3227b81.png)
:
![](https://static.elitesecurity.org/tex/4fa6f14703fea528b412fd57f2bfaa15.png)
(pravićemo se da se ne poklapa sa tačkom S :))
Kada smo sve to lepo sračunali (blago nama), ubacimo uz sve to uslov iz zadatka:
![](https://static.elitesecurity.org/tex/4d9447f9a6462ccca742b2ea8042fd8f.png)
Sada imamo stranice trougla, što nam na osnovu trigonometrijskih funkcija omogućava da izračunavo uglove. Veoma elegantno rešenje, nema šta.
[
Ovu poruku je menjao Bojan Basic dana 15.08.2004. u 23:51 GMT]
Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.