[es] - Zanimljivi zadaci sa matematičkih takmičenja

mtvrdoje.publiczg
TvrdiMijo
Sl.BRod,Hrvatska

Član broj: 30973
Poruke: 25
*.cmu.carnet.hr

Profil

Zanimljivi zadaci sa matematičkih takmičenja

^{28.07.2004. u 00:18}

odredite najmanju vrijednost funkcije [f(x)=x^5+a/x za x,a>0]

problem je što je ovo zadatak za prvi razred(županijska razina,2004) pa deriviranje nije dozvoljeno

za četvrti razred rješenje je trivijalno:[f((a/5)^1/6)=6*(a/5)^1/6]

ajd pomozite,pokušavao sam nešto sa geometrijskom sredinom,neide baš najbolje..

hvala

[Ovu poruku je menjao Bojan Basic dana 14.08.2004. u 17:09 GMT]

Blago onom tko rano poludi,
pa mu život u veselju prođe

^{28.07.2004. u 00:18}

mtvrdoje.publiczg
TvrdiMijo
Sl.BRod,Hrvatska

Član broj: 30973
Poruke: 25
*.cmu.carnet.hr

Profil

Re: riješite zadatak,ali bez derivacija...

^{28.07.2004. u 00:54}

ošli matematičari spavat...

ode i ja

da sanjam kako me progone zle derivacije

šmrc...

do sutra

Blago onom tko rano poludi,
pa mu život u veselju prođe

^{28.07.2004. u 00:54}

darkosos
Darko Šoš
Beograd

Član broj: 5053
Poruke: 468
*.ptt.yu

Sajt: www.geocities.com/darkoso..

Profil

Re: riješite zadatak,ali bez derivacija...

^{28.07.2004. u 12:17}

U ovakvim slučajevima uglavnom postoje dve metode:
- direktno; pretpostavimo da je x1>x2 pa pokušavamo da odredimo znak izraza f(x1)-f(x2) (kao priraštaj funkcije)
- početni izraz na podesan način transformišemo tako da se lako zaključuje monotonost, pri čemu je moguće kombinovati ove metode.

Probao sam i levo i desno, ali nisam ništa bolje smislio od ovog:

Razlika petih stepena može da se rastavi, nije baš ubavo...
Posle malo sređivanja, trebalo bi da se dobije

Prva zagrada je pozitivan izraz. Treba nekako da odredimo znak izraza u drugoj zagradi. E sad ide nešto što sam u trenutku smislio i nisam proveravao niti imam neko formalno uporište.

Pošto je nama potreban zaključak tipa "za

izraz u drugoj zagradi je + ili -", izgleda mi dozvoljeno da stavimo

, posebno što je simetričan u odnosu na indekse.

Dakle, ako tako uradimo, dobićemo:

odakle lako da je minimum u

Inače, ako napišemo

lako se dokazuje da funkcija raste za

pa minimum ne može biti preko tog šestog korena iz a.

^{28.07.2004. u 12:17}

zzzz
milan kecman
bluka

Član broj: 11810
Poruke: 849
*.dialup.blic.net

Profil

Re: riješite zadatak,ali bez derivacija...

^{28.07.2004. u 21:05}

E Darko baš si prećero.
Pa ovo je zadatak za prvi srednje.Samo najprostija numerika i to ona iz glave.

Dakle napraviti grubu skicu za oba dijela funkcije kao i neki grubi zbir pa onda kao
pokušati pogoditi.Pa onda ako pogodak nije uspješan,povćati x (ili smanjiti).
Malo analizirati ono a i eto ti petice.

^{28.07.2004. u 21:05}

mtvrdoje.publiczg
TvrdiMijo
Sl.BRod,Hrvatska

Član broj: 30973
Poruke: 25
*.cmu.carnet.hr

Profil

Re: riješite zadatak,ali bez derivacija...

^{28.07.2004. u 22:32}

Darko,hvala na trudu ali i ja mislim da je ovo malo prekomplicirano...

možda neka druga ideja?

zzzzz a da to malo i interpretiraš i napišeš nešto konkretno,a ne da samo

zzzzzujiš?;)))

Blago onom tko rano poludi,
pa mu život u veselju prođe

^{28.07.2004. u 22:32}

darkosos
Darko Šoš
Beograd

Član broj: 5053
Poruke: 468
*.ptt.yu

Sajt: www.geocities.com/darkoso..

Profil

Re: riješite zadatak,ali bez derivacija...

^{29.07.2004. u 06:38}

Pa dovoljno je već što u prvom srednje traže minimum funkcije, a do tad se radi samo linearna funkcija. Rade se polinomi i rastavljanje na činioce, Bezuov stav itd.

Dakle trebalo bi da ovo što sam napisao ne prelazi granice tog znanja. Ne uzimajte u obzir ona moja usputna naklapanja.

^{29.07.2004. u 06:38}

mtvrdoje.publiczg
TvrdiMijo
Sl.BRod,Hrvatska

Član broj: 30973
Poruke: 25
*.cmu.carnet.hr

Profil

Re: riješite zadatak,ali bez derivacija...

^{29.07.2004. u 21:07}

kad malo bolje razmislim,nije ovo ni tako loše riješenje...

još samo nekužim kako si "ugurao" ono a/x1*x2 u onaj rastav razlike petih potencija...

Darko,još jednom hvala,a ako neko drugi ima ideju,neka kaže ;)))

Pozdrav svima

Blago onom tko rano poludi,
pa mu život u veselju prođe

^{29.07.2004. u 21:07}

Nedeljko
Nedeljko Stefanovic

Član broj: 314
Poruke: 2300
*.dial.InfoSky.Net

Profil

Re: riješite zadatak,ali bez derivacija...

^{30.07.2004. u 01:08}

Hajde da se sada ja malo umešam. Ako je neko zaista razumeo neki matematički aparat, onda zna i da ga eliminiše iz svakog dokaza. Iz svakog dokaza koji se bazira na diferencijalnom i integralnom računu možete eliminisati sve izvode integrale i limese i dobiti dokaz koji koristi samo osnovne računske radnje i elementarne nejednakosti. No, takav dokaz će biti duži.

Neka je

Tada je

No, kako je

biće

No, ako je

onda je

kao i

No, to tačno znači da ako je

manje od

kao i od

da onda znak od

zavisi samo od znaka od

No, da bi

bilo nenegativno i za pozitivne i za negativne vrednosti

koje ispunjavaju taj uslov, mora biti

Ja sam ovde pošao od rešenja zasnovanog na diferencijalnom računu, i onda ga formalno sveo na četiri računske radnje.

^{30.07.2004. u 01:08}

darkosos
Darko Šoš
Beograd

Član broj: 5053
Poruke: 468
*.ptt.yu

Sajt: www.geocities.com/darkoso..

Profil

Re: riješite zadatak,ali bez derivacija...

^{30.07.2004. u 08:28}

Citat:

mtvrdoje.publiczg: još samo nekužim kako si "ugurao" ono a/x1*x2 u onaj rastav razlike petih potencija...

To je deo koji ostaje od

tj. nema veze sa rastavljanjem petih stepena.

Inače, to moje rešenje je kao da smo računali izvod:
posle skraćivanja

, stavljanjem

postupamo kao da tražimo

.

Razmislio sam malo i o toj manipulaciji (bez obzira što daje dobar rezultat, ne znači da je sve u redu).
Iz

ne možemo, naravno, da zaključimo

(dok obrnuto očigledno važi) ali ako znamo da je skup A interval, tj da sadrži sve elemente između inf A i sup A, onda je dovoljno odrediti te granice. A one su iste kao da tražimo samo po "dijagonali" x=y. (valjda :)

^{30.07.2004. u 08:28}

zzzz
milan kecman
bluka

Član broj: 11810
Poruke: 849
*.dialup.blic.net

Profil

Re: riješite zadatak,ali bez derivacija...

^{01.08.2004. u 00:21}

Citat:

mtvrdoje.publiczg:
zzzzz a da to malo i interpretiraš i napišeš nešto konkretno,a ne da samo
zzzzzujiš?;)))

Kakva je to županijska škola?Kamo će toliki župani kad svrše.I još im
u prvom razredu uvale da vježbaju minimalce umjesto neke maksimume
i ostalo što valja.(Ovo je šala,a sad ću probati ozbiljno).
--------------------------------------------------------------
Problem sa ovim i sličnim zadacima je što se ne vidi u koju klasu
spadaju.Obično u knjigama ide neka teorija pa neki primjer,a onda
se nareda gomila zadataka za vježbanje.U uvodu se navede toga
štošta,a onda se smatra da se sve to podrazumjeva i za skup zadataka
koji slijede.(Kao objektno orjentisano programiranje).

Ja ću pokušati pogoditi klasu gdje ovaj zadatak upada (9 ili 10-ti razred?)
Recimo ovako:"Treniranje procjene toka za***anih funkcija"

Kako bih rješavao da sam u tim godinama:Vucao bih onaj "a" do krajnjih
granica i pratio šta se dešava sa ostalim stvarima.(Naročito minimumom!)

Uzmem da je a=ogroman broj,gugel(G).Pa za tu vrijednost polako uvrštavam
x=1,zatim 10;100 itd.Računam y i vidim da pada,ali odjednom počne i rasti.
Pribilježim tu grubu numeriku.Odaberem sada manju vrijednost za a.Iz straha
od nule ajmo najprije na 1.Opet malo računam sa x (oko jedinice i tu negdje)
Na kraju uzmem da je a="mali gugle" tj 1/G pa opet malo mrdam x.

Iz svega ovog može se izvući kako ovisi položaj minimuma (x(m))
od "a" kao i vrijednost minimalne funkcije i još neki omjeri.Kvalitativno
svakako.Onda se to lijepo napiše matematičkim jezikom sa puno čudnih
znakova i poneka riječ kao što je "monotono"itd.To se tako piše da bi i
Japanci mogli razumjet.Samo nažalost ja sam za mat.jezik vo Pirot.

Nisam siguran jeli pogođena klasa pa zato ovo ostalo pišem više kao
šalu.

^{01.08.2004. u 00:21}

mtvrdoje.publiczg
TvrdiMijo
Sl.BRod,Hrvatska

Član broj: 30973
Poruke: 25
*.cmu.carnet.hr

Profil

Re: riješite zadatak,ali bez derivacija...

^{01.08.2004. u 15:46}

e moj zzzz...
nije to županijska škola već županijsko NATJECANJE!!! iz matematike.
prvi stupanj je općinsko ,zatim županijsko i onda državno.

ovaj zadatak je bio postavljen na županijskom NATJECANJU 2004 godine(ove godine) i koštao me je plasmana na državno.Nosi 25 bodova kao i ostala tri zadatka
(ukupno 100 bodova,70 treba za državno)Zadatak je to za prvi razred srednje škole(čitaj gimnazije)koji se neradi na nastavi,tako da je "klasu" zadatka jako teško odrediti.

i usput metodom "uzaludnog pokušaja" koju si mi ti prezentirao sam i ja "riješio" zadatak i osvojio NULA bodova.

P.S nedjeljko,hvala na riješenju,ali...

P.P.S darko,čini mi se da mi je sad jasno,nebi te više gnjavio

Blago onom tko rano poludi,
pa mu život u veselju prođe

^{01.08.2004. u 15:46}

zzzz
milan kecman
bluka

Član broj: 11810
Poruke: 849
*.dialup.blic.net

Profil

Re: riješite zadatak,ali bez derivacija...

^{02.08.2004. u 07:06}

Citat:

mtvrdoje.publiczg:
nije to županijska škola već županijsko NATJECANJE!!! iz matematike.
prvi stupanj je općinsko ,zatim županijsko i onda državno.

E sad je jasno.Dakle za natprosječne,a opet,koristiti alat tog nivoa.
A alat je:"jednako ili približno";"mnogo manje od";"zanemarivo malo"
(čini mi se da da se to uči u tim godinama.)

1)Zaključiš da su u minimumu funkcije vrijednosti f(x) i f(x+h) ,za h
mnogo manje od x, jednake ili približne.
2)Izračunaš ono f(x+h), s desne strane (jednako približno je između).
3)Pokratiš sve što se da i još sve podijeliš sa h.
4)Primjeniš sad ono "zanemarivo malo" i ostaje ti :5x na 4 jednako je
ili približno jednako a/x na kvadrat.
-Dalje je lako.

^{02.08.2004. u 07:06}

Nedeljko
Nedeljko Stefanovic

Član broj: 314
Poruke: 2300
*.dial.InfoSky.Net

Profil

Re: riješite zadatak,ali bez derivacija...

^{02.08.2004. u 13:48}

uz jednakost samo kada su svi članovi jednaki, tj.

^{02.08.2004. u 13:48}

mtvrdoje.publiczg
TvrdiMijo
Sl.BRod,Hrvatska

Član broj: 30973
Poruke: 25
*.cmu.carnet.hr

Profil

Re: riješite zadatak,ali bez derivacija...

^{02.08.2004. u 22:01}

e nedeljko, svaka čast(što bi se ono reklo "svaka ti dala".........)

nisu li te AG nejednakosti divne?

moraću se početi njima bavit

vjerujem da je to i službeno riješenje

imam ja još zadataka s tih natjecanja:)))))))))))))))))

(..........."vode iz kanala");))))))))))))))))))))))))))

Blago onom tko rano poludi,
pa mu život u veselju prođe

^{02.08.2004. u 22:01}

darkosos
Darko Šoš
Beograd

Član broj: 5053
Poruke: 468
*.ptt.yu

Sajt: www.geocities.com/darkoso..

Profil

Re: riješite zadatak,ali bez derivacija...

^{03.08.2004. u 06:35}

Hm, a zašto ne

ili

itd.?

Sad sam i sam video: jedino tako se eliminiše x na desnoj strani, tj. postaje konstantna, pa nejednakost važi za sve x. Dobra fora!

^{03.08.2004. u 06:35}

zzzz
milan kecman
bluka

Član broj: 11810
Poruke: 849
*.dialup.blic.net

Profil

Re: riješite zadatak,ali bez derivacija...

^{03.08.2004. u 21:29}

Citat:

mtvrdoje.publiczg:
vjerujem da je to i službeno riješenje

Ne vjerujem da je ovo službeno rješenje.Mogao si onda
napisati ovako:"Pošto znamo da je minimum funkcije
[(x na n)+a/x] upravo za vrijednost: x=(n+prvi)korijen iz a/n
onda uvrstim n=5 i to je onda x=šesti korijen iz a/5.Uvrstim
ovo i dobijem vrijednost minimuma.
---Nema tu bodova.Samo bi uvrijedio članove komisije.

Pođi od x+1/x.Znaš za to naći gdje je (i zašto) minimum.
Onda probaj za x+a/x.Možda ste radili i to?Dobiješ da je
minimum za x=korijen iz a.Jel tako?Možda to imaš u tekici
ili knjizi.

E sad su oni na županijskom malo dodali ono x na 5.Očekuju
da radiš po istoj logici kao i ovo gore.A ti upro ko ždrijebe
pred rudu.

Ono što sam napisao u prošlom javljanju je samo gruba uputa.treba
tu malo diskusije na početku.Izjednačiti brzine prirasta i
opadanja monotonih funkcija.I još ponešto.

^{03.08.2004. u 21:29}

mtvrdoje.publiczg
TvrdiMijo
Sl.BRod,Hrvatska

Član broj: 30973
Poruke: 25
*.cmu.carnet.hr

Profil

Re: riješite zadatak,ali bez derivacija...

^{04.08.2004. u 01:47}

i još jednu kriglu hladnog piva :))))))))))))

Blago onom tko rano poludi,
pa mu život u veselju prođe

^{04.08.2004. u 01:47}

Bojan Basic
Novi Sad

SuperModerator
Član broj: 6578
Poruke: 3512
*.smin.sezampro.yu.

Jabber: bojan_basic@elitesecurity.org
ICQ: 305820253

Profil

Re: riješite zadatak,ali bez derivacija...

^{04.08.2004. u 01:55}

Ma čekaj bre, zzzz, što si ga sad zakomplikovao. Nedeljkovo rešenje koristi samo nejednakost između aritmetičke i geometrijske sredine, a ta nejednakost je opšte poznata i njena primena se prihvata bez dokaza, pa je takvo rešenje u potpunosti korektno. I ja verujem da je to zvanična varijanta.

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

^{04.08.2004. u 01:55}

mtvrdoje.publiczg
TvrdiMijo
Sl.BRod,Hrvatska

Član broj: 30973
Poruke: 25
*.cmu.carnet.hr

Profil

Re: riješite zadatak,ali bez derivacija...

^{04.08.2004. u 02:40}

pa eto onaj ko želi nastavit ovu temu može probat riješit poopćeni zadatak:

minimum funkcije x^n+a/x (za x,a,n>0)

(jel može ona fora sa AG nejednakosti?;;;)))

p

Blago onom tko rano poludi,
pa mu život u veselju prođe

^{04.08.2004. u 02:40}