Hteo sam sinoć da napišem nešto slično, ali hajde da dopunim. Negde sam to pisao na ovom forumu, ali je teže naći jer se tema ne zove tako.
Elem,
Pod potpoljem od
podrazumevaćemo bilo koji podskup
od
takav da 0 i 1 pripadaju tom podskupu i da ako su
, onda i
. Najmanji takav skup je
. Međutim, ako je
bilo koje potpolje od
i
neki njegov pozitivan element, onda je i
potpolje od
.
Neka su
i
dva potpolja od
i neka je
. Tada je
jedan vektorski prostor nad poljem
. To znači da važe uobičajeni zakoni vezani za sabiranje i oduzimanje vektora i množenje vektora skalarom, kao u geometriji, s tim da su ovde skalari elementi skupa
, a vektori elementi skupa
.
Ako je pritom
neki niz vektora takav da za ma koji vektor
postoji tačno jedan niz skalara
tako da važi
, onda za niz vektora
kažemo da je baza vektorskog prostora
nad poljem skalara
.
Pritom se dokazuje da svake dve baze istog vektorskog prostora nad istim poljem skalara imaju isti broj elemenata. Drugim rečima, ne postoje baze
i
istog vektorskog prostora nad istim poljem skalara takve da je
.
Broj elemenata bilo koje baze vektorskog prostora
nad poljem skalara
se zove dimenzija vektorskog
nad poljem skalara
. U slučaju da je vektorski prostor neko polje, a polje skalara njegovo potpolje (kao kod nas), taj broj se obeležava sa
Ukoliko je
potpolje od
a
potpolje od
, onda važi formula
.
Neka je
neko potpolje od
i
bilo koji kompleksan broj. Najmanje potpolje od
koje sadrži sve elemente polja
, kao i
uvek postoji i obeležava se sa
.
Ukoliko ne postoji nijedan ne/nula polinom
sa koeficijentima iz
takav da je
, onda se za
kaže da je transcedentan element nad poljem
i tada važi formula
, a ako takav polinom postoji, onda kažemo da je
algebarski element nad
i važi formula da je
jednako najmanjem mogućem stepenu takvog polinoma.
Ako je
neko potpolje od
i
pozitivan realan broj, onda je
, i važi
jednako 1 ako
, odnosno 2 u suprotnom. U svakom slučaju je
za
.
Dakle, ako imamo niz
potpolja od
, takvih da za sve
važi
i
, onda je
za neki ceo nenegativan broj
.
Ako je pak
potpolje od
i ako je
, onda je
, odnosno da je
delitelj broja
. Dakle, ako je
raširenje polja
čiji je stepen neki stepen dvojke, onda je svaki element skupa
algebarski nad
(što znači da postoji polinom sa racionalnim koeficijentima stepena barem jedan, kome je taj element jedan od korena) čiji je stepen minimalnog polinoma (takvog polinoma najmanjeg stepena) jednak nekom stepenu dvojke.
Kakve to veze ima sa geometrijskim konstrukcijama?
Neka je na početku data jedinična duž. Možemo izabrati koordinatni sistem kome je jedan od krajeva koordinatni početak, a drugi kraj duži ima koordinate
.
Osnovne konstrukcije lenjirom i šestarom su sledeće:
1. Kroz dve tačke
i
povucimo pravu
. Ako su obe koordinate tačaka
i
imale obe koordinate u nekom polju
, onda prava
ima jednačinu čiji su svi koeficijenti u polju
.
2. Konstruišimo krug
sa centrom
koji prolazi kroz tačku
. Ako tačke
i
imaju obe koordinate u polju
, onda krug
ima jednačinu koja ima sve koeficijente iz polja
.
3. Konstruišimo presečnu tačku
pravih
i
. Ako prave
i
imaju jednačine čiji svi koeficijenti leže u polju
, onda i tačka
ima obe koordinate u polju
.
4. Konstruišimo presečne tačke
i
kruga
i prave
. Ako krug
i prava
imaju jednačine čiji su svi koeficijenti u polju
, onda postoji pozitivan realan broj
takav da obe koordinate tačaka
i
pripadaju polju
.
5. Konstruišimo presečne tačke
i
krugova
. Ako krugovi
i
imaju jednačine čiji su svi koeficijenti u polju
, onda postoji pozitivan realan broj
takav da obe koordinate tačaka
i
pripadaju polju
.
Pošto na početku imamo samo krajeve jedinične duži, čije su koordinate
i
iz polja
, konačnom primenom navedenih osnovnih konstrukcija lenjiriom i šestarom dobijamo
a) tačke čije su obe koordinate u nekom polju
,
b) prave koje imaju jednačine sa svim koeficijentima u nekom polju
,
c) krugove koji imaju jednačine sa svim koeficijentima u nekom polju
,
pri čemu za to polje
važi da je
za neki ceo nenegativan broj
.
[Ovu poruku je menjao Nedeljko dana 07.08.2020. u 00:36 GMT+1]
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.