Da, ovde se govori o uniformno ograničenom nizu funkcija
. To znači da postoji konstanta
takva da je
za sve prirodne brojeve
i sve
iz domena funkcija
. Ako se ne kaže na kom je skupu taj niz funkcija uniformno ogranichen (kada moraju sve funkcije iz niza definisane na tom skupu), onda se podrazumeva da su domeni svih funkcija iz tog niza funkcija biti jednaki.
Drugo, niz funkcija
ti za ovu namenu i nije baš nabolje definisan.Trebalo bi da bude
i da funkcija
bude neprekidna i linearna na svakom od degmanata
za
i tako da koeficijent pravca na odsečku
bude jednak
Nije teško pokazati da za svaki prirodan broj
postoji jedinstvena funkcija
definisana na intervalu
koja ispunjava tražene uslove.
No, pošto koeficijent pravca na bilo kom od segmenata ne može preći
po apsolutnoj vrednosti, pa stoga važi tražena nejednakost (7). Iz istog razloga su funkcije iz tog niza funkcija ravnomerno neprekidne. Lipšicove su sa istom konstantom
Sada možeš da primeniš Arcela-Askolijevu teoremu o relativnoj kompaktnosti Banahovog prostora
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.