Navigacija
Lista poslednjih: 16, 32, 64, 128 poruka.

Dve zanimljive jednačine

[es] :: Matematika :: Dve zanimljive jednačine

[ Pregleda: 2759 | Odgovora: 11 ] > FB > Twit

Postavi temu Odgovori

Autor

Pretraga teme: Traži
Markiranje Štampanje RSS

Farenhajt
Goran Kapetanović
Beograd

Član broj: 78132
Poruke: 449
91.148.92.*



+6 Profil

icon Dve zanimljive jednačine12.04.2009. u 18:40 - pre 183 meseci
Rešiti jednačine:

1.

2.

gde označava ceo deo, a razlomljeni deo.
 
Odgovor na temu

h4su

Član broj: 146153
Poruke: 162
*.sa.hs-hkb.ba.



+4 Profil

icon Re: Dve zanimljive jednačine12.04.2009. u 21:38 - pre 183 meseci
Za 1. zadatak je li jedino rjesenje trivijalno rjesenje
 
Odgovor na temu

Farenhajt
Goran Kapetanović
Beograd

Član broj: 78132
Poruke: 449
91.148.92.*



+6 Profil

icon Re: Dve zanimljive jednačine12.04.2009. u 22:52 - pre 183 meseci
Ne. Oba imaju popriličan broj netrivijalnih rešenja.
 
Odgovor na temu

Bojan Basic
Novi Sad

SuperModerator
Član broj: 6578
Poruke: 3996
*.dynamic.sbb.rs.

Jabber: bojan_basic@elitesecurity.org
ICQ: 305820253


+605 Profil

icon Re: Dve zanimljive jednačine13.04.2009. u 02:07 - pre 183 meseci
Evo rešenja prvog zadatka.

Primetimo da je ceo deo leve strane baš prvi sabirak, a razlomljeni deo je drugi sabirak. Dakle, rešenje možemo tražiti izjednačavanjem razlomljenog, odnosno celog dela leve i desne strane zasebno.

Kako važi , prvi uslov je

Slično raspisujemo , pa se zahtev da ovo bude jednako može zapisati i kao

Posmatrajmo sada . Za odatle sledi i , što ostavlja kao jedinu mogućnost, a proverava se da to jeste rešenje. Dalje, za uslov uvek jeste zadovoljen, pa još treba obezbediti (druga strana je uvek ispunjena); rešavanjem ovoga po dobijamo finu kolekciju rešenja, naime . Sledeći slučaj je , kada se svodi na za neko , iz čega dobijamo ; no, iz sada proizlazi da mora važiti , pa ovde nema rešenja. Za kraj, ako važi , svodimo na za neko , odakle sledi ; iz dobijamo da mora biti , tj. , pa je jedino moguće , što daje rešenje .

Kad podvučemo crtu, zaključak je: .

Drugi ostavljam nekom drugog, ali nema razloga da isti postupak ne prođe.
Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.
 
Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.dynamic.sbb.rs.



+2790 Profil

icon Re: Dve zanimljive jednačine13.04.2009. u 16:05 - pre 183 meseci
Rešiti jednačinu:



po , .
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
 
Odgovor na temu

Farenhajt
Goran Kapetanović
Beograd

Član broj: 78132
Poruke: 449
91.148.84.*



+6 Profil

icon Re: Dve zanimljive jednačine13.04.2009. u 18:05 - pre 183 meseci
Citat:
Nedeljko: Rešiti jednačinu:



po , .


a) Ako je , jednačina postaje , te je zadovoljena za svako

b) Ako je , stavimo , gde je . Tada jednačina postaje



Za , sabirak pod znakom sume imaće vrednost , a za imaće vrednost . Jednačina stoga postaje



to jest, dobijamo identitet. Prema tome, polazni izraz važi za svaki ceo broj .
 
Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.dynamic.sbb.rs.



+2790 Profil

icon Re: Dve zanimljive jednačine14.04.2009. u 09:23 - pre 183 meseci
Tačno, s tim što ga nigde nisam video ranije. Došao sam samostalno do njega. Ne znam da li ga neko drugi negde video.

Moj dokaz se zasniva na tome da za funkciju važi i za svako .


Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
 
Odgovor na temu

Farenhajt
Goran Kapetanović
Beograd

Član broj: 78132
Poruke: 449
91.148.84.*



+6 Profil

icon Re: Dve zanimljive jednačine14.04.2009. u 10:14 - pre 183 meseci
Zapravo je posredi poseban slučaj Ermitovog (Charles Hermite) identiteta



za racionalno oblika . Ermitov identitet takođe se lako dokazuje sličnom idejom kao gore, ako se stavi , gde je (tj. ako se "stisne" u podinterval dužine )

[Ovu poruku je menjao Farenhajt dana 14.04.2009. u 11:26 GMT+1]
 
Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.dynamic.sbb.rs.



+2790 Profil

icon Re: Dve zanimljive jednačine14.04.2009. u 10:45 - pre 183 meseci
Hvala.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
 
Odgovor na temu

Farenhajt
Goran Kapetanović
Beograd

Član broj: 78132
Poruke: 449
91.148.86.*



+6 Profil

icon Re: Dve zanimljive jednačine19.04.2009. u 17:00 - pre 182 meseci
Da li je neko zainteresovan za drugu jednačinu ili da kačim rešenje?
 
Odgovor na temu

Bojan Basic
Novi Sad

SuperModerator
Član broj: 6578
Poruke: 3996
*.dynamic.sbb.rs.

Jabber: bojan_basic@elitesecurity.org
ICQ: 305820253


+605 Profil

icon Re: Dve zanimljive jednačine19.04.2009. u 18:35 - pre 182 meseci
Evo ja ću, kad već neće niko.

Tvrdimo da je rešenje polazne jednačine: .

Ako bi bilo , ostalo bi , pa bi važilo (zapazimo, trebaće nam posle, da važi i obratno: ako , onda je ). No, sada bismo dobili , pa iz date jednačine sledi da je jedino rešenje u ovom slučaju .

Dakle, neka sada bude , tj. . Slično kao u prethodnom zadatku, zasebno ćemo izjednačavati razlomljeni, odnosno ceo deo leve i desne strane. Razlomljeni deo leve strane je , pa je prvi zahtev

Ceo deo leve strane je , pa je idući zahtev

Odmah zapazimo da se leva nejednakost u transformiše u , iz čega izvlačimo da nema rešenja kad god je (jednakost uključujemo jer ). Dakle, ostaje , i se svodi na za neko . Odatle dobijamo . Tvrdimo da ne može biti zadovoljeno za : svodi se na kontradikcija. Dakle, jedina mogućnost je , tj. gde je , a nije teško proveriti da sve ovo jesu rešenja.
Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.
 
Odgovor na temu

Farenhajt
Goran Kapetanović
Beograd

Član broj: 78132
Poruke: 449
91.148.86.*



+6 Profil

icon Re: Dve zanimljive jednačine19.04.2009. u 18:50 - pre 182 meseci
Vrlo lepo, sedi, pet

Samo jedna estetsko-simplifikacijska intervencija: tvoje rešenje može se napisati u obliku za , što će zapravo reći za
 
Odgovor na temu

[es] :: Matematika :: Dve zanimljive jednačine

[ Pregleda: 2759 | Odgovora: 11 ] > FB > Twit

Postavi temu Odgovori

Navigacija
Lista poslednjih: 16, 32, 64, 128 poruka.