_________________________
Kazemo da je funkcija
diferencijabilna u tocki
(oznacit cu je krace s
a ne s M ), ako postoje:
a) linearni operator "
"
i
b) neka funkcija
, sa svojstvom:
(oznacimo je krace samo s 0),
takvi da vrijedi:
________________________
Kako je po pretpostavci f diferencijabilna u x_0, to za neki
, vrijedi:
(*)
i
(***)
.
(*****)Treba pokazati da je f neprekidna u
, tj treba pokazati da su sve tri funkcije s desne strane gornje jednakosti neprekidne u
. Pa jer je zbroj neprekidnih funkcija, neprekidna funkcija, zakljucit cemo da je onda i f, kao njihov zbroj, neprekidna u
:
1) Najprije imamo konstantnu funkciju
. Ona je neprekidna u
jer su konstante neprekidne funkcije.
2) linearni operatori su neprekidne funkcije (dokazuje se tako sto se pokaze da svaki linearni operator ima Lipshitzovo svojstvo, pogledaj negdje medju teoremima), pa je i linearni operator
neprekidan.
3)Da bismo pokazali da je r neprekidna u
, pozvat cemo se na karakterizaciju neprekidnosti pomocu limesa, tj:
(****)
r je neprekidna u akko je 
.
Pokazimo to:
Najprije, uvrstimo li u (*)
, imat cemo:
. Iz ovog, i zbog poznate cinjenice da svaki linearni operator nulu preslikava u nulu tj
, slijedi da je
(**)
(ne zaboravimo da je ova nula zapravo
)
Sada zbog (***), prema definiciji granicne vrijednosti, vrijedi:
.
No
, na osnovu gornjeg mozemo interpretirati ovako:
Kako je norma neprekidna, to limes i norma mogu komutirati pa zadnje mozemo pisati kao:
(ova nula je obicna nula iz skupa
, jer je to vrijednost norme )
iz cega slijedi da je
, (ova nula je pak
) sto zbog (**) mozemo pisati kao:
pa prema (****) zakljucujemo da je r neprekidna u
.
I na kraju zbog recenoga u (*****) zakljucujemo da je f neprekidna u
Eto, a mozda moze i jednostavnije, ali jbga ja volim kad je sve jasno..
while(sleeping) cat_wails(); wake_up(); for(int i=0;i<9;i++) shoot_cat(); rejoice();
goto(bed);
Registrovani: 9 ( SkodricNL, vjova, sikira069, Darko Nedeljković, Java Beograd, fangorn, baresi, whitie2004, caprrri )
Funkcije vise promenljivih