Prvo uvedi funkciju
![](https://static.elitesecurity.org/tex/845287982a74c4fa4825123188f51066.png)
za
![](https://static.elitesecurity.org/tex/0ee683c84c2192b35f58299d6903716f.png)
i
![](https://static.elitesecurity.org/tex/b032c66aa68d26c45d50420464a1285d.png)
racionalno. Onda dokaži
![](https://static.elitesecurity.org/tex/27a36469aec945ac79071f15fd04fd28.png)
,
![](https://static.elitesecurity.org/tex/b53c35403b21020ec6485710578ee134.png)
,
![](https://static.elitesecurity.org/tex/958b93ccdf1cc77a70ff4f7413e87440.png)
i monotoniju i iskoristi
![](https://static.elitesecurity.org/tex/c27181564ae03202c5649f2325c3eb9c.png)
za
![](https://static.elitesecurity.org/tex/0ee683c84c2192b35f58299d6903716f.png)
da dokažeš da ako je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/e7d6115ca3306e87012f74dc5010b278.png)
niz racionalnih brojeva koji teži nuli da je onda
![](https://static.elitesecurity.org/tex/6de8d5d70561161afd97e826ce27230b.png)
. To iskoristi da dokažeš sledeće: ako je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/d160ed860ab94eb464a935feb27c5cd0.png)
rastući niz racionalnih brojeva, a
![](https://static.elitesecurity.org/tex/d7d67945cf22be6246cda2f56982a5b7.png)
opadajući niz racionalnih brojeva, pri čemu je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/e33f0cbde0f151c779d7ae9034666df0.png)
, onda mora biti
![](https://static.elitesecurity.org/tex/7a90d7373af45c171e45417f3d0f009d.png)
, odnosno
![](https://static.elitesecurity.org/tex/e29656ca795730658ba0b5d115dcc034.png)
. To ti omogućava da definišeš jednoznačno
![](https://static.elitesecurity.org/tex/b352edc6eeabfab076896f35d9eab2d8.png)
za
![](https://static.elitesecurity.org/tex/0ee683c84c2192b35f58299d6903716f.png)
i
![](https://static.elitesecurity.org/tex/b032c66aa68d26c45d50420464a1285d.png)
realno kao jedinstevno neprekidno produženje sa racionalnih eksponenata na realne.
Funkcija
![](https://static.elitesecurity.org/tex/845287982a74c4fa4825123188f51066.png)
je za
![](https://static.elitesecurity.org/tex/f8f81673a5f976850b65d9ff6a71cefc.png)
J-konveksna i neprekidna, pa je konveksna, pa je funkcija
![](https://static.elitesecurity.org/tex/23f16cfa80e69caf27c83589c030b339.png)
rastuća. Kada sa desne strane
![](https://static.elitesecurity.org/tex/b032c66aa68d26c45d50420464a1285d.png)
teži nuli, onda
![](https://static.elitesecurity.org/tex/23f16cfa80e69caf27c83589c030b339.png)
opada, ali je stalno veće od nule, pa konvergira nenegativnoj vrednosti. Za
![](https://static.elitesecurity.org/tex/14c1aa6f5077dda370142dfe79b21ac4.png)
je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/44a3a00afe09ee96f4329ba5909d3865.png)
,
pa se konvergencija svodi na konvergenciju u slučaju da je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/f8f81673a5f976850b65d9ff6a71cefc.png)
. Analogno važi i u slučaju kada
![](https://static.elitesecurity.org/tex/b032c66aa68d26c45d50420464a1285d.png)
teži nuli sa leve strane. Pošto smo dokazali konvergenciju, možemo definisati funkciju
![](https://static.elitesecurity.org/tex/7cb356157029ba4b55a507b9952cd058.png)
.
Sada se lako izvodi da je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/63d9f132b9cf49c091e6f7d725a8f69e.png)
.
Ako je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/8b8b286bf53fec19f12a2f92cc6af842.png)
, onda je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/b2191b505b41b3284bd94879e216ad25.png)
pa je funkcija konstantna i jednaka vrednosti
![](https://static.elitesecurity.org/tex/dbe09cdd1336b8c94e12067ea7fa4453.png)
pa je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/a48bdb90ded3d79d1ab64f323b6795f0.png)
. Dakle, za
![](https://static.elitesecurity.org/tex/f8f81673a5f976850b65d9ff6a71cefc.png)
je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/7a45485252d6c20e99ea2ec7ba3c63d4.png)
, dok za
![](https://static.elitesecurity.org/tex/14c1aa6f5077dda370142dfe79b21ac4.png)
važi
![](https://static.elitesecurity.org/tex/03f329338d05ef6bd8c6ad9e7911f18b.png)
. Iz identiteta
sledi da je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/0dcc6f516f5a6174da83d241c8dca110.png)
.
Odatle sledi da je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/935567293433699b2a04f58fea6b2dbe.png)
, odnosno
![](https://static.elitesecurity.org/tex/738ffe4c956f4a766ae9e8062ac2a126.png)
,
![](https://static.elitesecurity.org/tex/4db2e63df06241f2696b31be2e1e4c5c.png)
.
Takođe, smenom
![](https://static.elitesecurity.org/tex/2fbf65928ef1853984427ec41ff77481.png)
se dobija da važi
![](https://static.elitesecurity.org/tex/8e45253c012cc65072962374f936212e.png)
.
Sada je lako izvesti strogu monotoniju funkcije
![](https://static.elitesecurity.org/tex/8b197f64149b293f777409ae915abb61.png)
. Za
![](https://static.elitesecurity.org/tex/4eac8aa3c36a43c940d225a60a53f362.png)
je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/1a7f2f3587c47e34cdd93f8e80b9d64a.png)
.
Slično, iz
![](https://static.elitesecurity.org/tex/51809876343f682b0d3138eedbb2455d.png)
i
![](https://static.elitesecurity.org/tex/254f0093a516065ec5aeae9984a0c762.png)
sledi neograničenost funkcije
![](https://static.elitesecurity.org/tex/8b197f64149b293f777409ae915abb61.png)
i odozgo i odozdo. Dokažimo neprekidnost.
Iz monotonije sledi da postoje limesi i sa leve i sa desne strane. Svaka monotona funkcija može imati najviše prebrojivo mnogo tačaka prekida, pa postoje tačke u kojima je funkcija
![](https://static.elitesecurity.org/tex/8b197f64149b293f777409ae915abb61.png)
neprekidna. Neka je neprkidna u tački
![](https://static.elitesecurity.org/tex/0ee683c84c2192b35f58299d6903716f.png)
. Za svaki niz
![](https://static.elitesecurity.org/tex/998395034742485f33798d502f4e69bd.png)
koji konvergira nekoj tački
![](https://static.elitesecurity.org/tex/61cbd75473c462ec47e1d9ef5a39c615.png)
važi da niz
![](https://static.elitesecurity.org/tex/c93702ef85dcc91b53cfa60356e830c3.png)
konvergira ka
![](https://static.elitesecurity.org/tex/64d3dae627ebefd097b7916f8bdc6826.png)
, pa važi
![](https://static.elitesecurity.org/tex/a9559c3e4dc514792ff996426f8b797e.png)
,
pa je neprekidna i u tački
![](https://static.elitesecurity.org/tex/92e440f27bdf4c6d6b1b23402b249227.png)
. Dakle, neprekidna je svuda. Pritom je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/77ea31872abc413ea2527b755097a393.png)
i sa ob strane neograničena i strogo rastuća, pa je bijekcija skup
![](https://static.elitesecurity.org/tex/11b589b31a1af09d6641ee848fa81ddd.png)
na
![](https://static.elitesecurity.org/tex/66a452e0cbf0d695a0da70d707b10375.png)
, pa postoji jedinstvena vrednost
![](https://static.elitesecurity.org/tex/587ebc308265fb10412b131c0de00686.png)
za koju je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/87687f094bebf7e6feaef986f9f7de5f.png)
. Tada važi
![](https://static.elitesecurity.org/tex/6bdc2b47a1aa6c92b3a67feb9ffda8ed.png)
,
a samim tim i
![](https://static.elitesecurity.org/tex/c8ca0eac753049a78464b31b8b0fad9f.png)
.
Pritom je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/75b9500917078f1ad2b2a9e98686bbba.png)
,
pa je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/8b197f64149b293f777409ae915abb61.png)
ništa drugo do inverzna funkcija funkcije
![](https://static.elitesecurity.org/tex/52adf9eafbe0e8ace83e201fa51232d5.png)
, odnosno logaritam za osnovu
![](https://static.elitesecurity.org/tex/587ebc308265fb10412b131c0de00686.png)
. Izvod funkcije
![](https://static.elitesecurity.org/tex/8b197f64149b293f777409ae915abb61.png)
se sada može izvesti kao izvod inverza funkcije
![](https://static.elitesecurity.org/tex/52adf9eafbe0e8ace83e201fa51232d5.png)
.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.