ms matematika....

Re: ms matematika.... 25.01.2026. u 17:35 · pre 9 meseci #41

Osim 1 i (-1) koji su trivijalna rešenja, kako bi dokazali da nema drugih rešenja?
Ili ih ima?

Re: ms matematika.... 25.01.2026. u 18:36 · pre 9 meseci #42

1/n su takođe rešenja.
Pitanje je da li bilo koji racionalni broj koji nema 1 u brojiocu može da proizvede racionalni broj, odnosno da li
$\Biggl( { p \over q } \Biggr) ^ {p \over q}$
može da bude racionalni broj kada se primeni p-ti koren

Re: ms matematika.... 25.01.2026. u 23:32 · pre 9 meseci #43

U pravu si.

Re: ms matematika.... 26.01.2026. u 10:49 · pre 9 meseci #44

Nema drugih rešenja osim 1/n i -1/n. Prvo uraditi za pozitivne i koristiti uzajamnu prostost od p i q.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: ms matematika.... 27.01.2026. u 05:24 · pre 9 meseci #45

Neka su $p,q,a,b$ prirodni brojevi takvi da važi $(p/q)^{q/p}=a/b$ , i pri čemu su napisani razlomci neskratljivi. Dakle,

(1) $p^qb^p=q^qa^p$ ,

odnosno $a^p|p^qb^p$ i $b^p|q^qa^p$ . Pošto su $a$ i $b$ uzajamno prosti, oni nemaju nijedan zajednički prost delilac, pa ga nemaju ni $a^p$ i $b^p$ , pa su i oni uzajamno prosti, pa $a^p|p^q$ i $b^p|q^q$ , odnosno za neke prirodne brojeve $k,l$ važi

(2) $p^q=a^pk$ i $q^q=b^pl$ .

Odatle i iz (1) sledi da je $a^pb^pk=a^pb^pl$ , odnosno $k=l$ . Odatle i iz (2) sledi da pošto su $p$ i $q$ uzajamno prosti, mora biti $k=1$ , odnosno

$p^q=a^p$ i $q^q=b^p$ .

Ako za prirodan broj $m$ i prost broj $s$ sa $d(s,n)$ označimo najveći ceo broj takav da $s^{d(s,n)}|n$ , onda iz prethodnog sledi da za ma koji psost broj $s$ važi $p|d(s,q)q$ i $p|d(s,p)q$ , pa pošto su $p$ i $q$ uzajamno prosti, važi $p|d(s,p)$ i $p|d(s,q)$ , pa pošto to važi za svaki prost broj $s$ brojevi $p$ i $q$ su potpuni $p$ -ti stepeni, odnosno za neke pridodne brojeve $u$ i $v$ važi $p=u^p$ i $q=v^p$ . Pritom je $p=u^p$ moguće samo za $p=1$ .

Dakle, jedini pozitivni racionalni brojevi $r$ za koje je $r^{1/r}$ racionalan broj su recipročne vrednosti pridodnih brojeva.

Pronađimo negativne. Neka su $p$ i $q$ prirodni brojevi za koje je $(-p/q)^{-q/p}$ racionalan broj. Da bi to bilo definisano, potrebno je i dovoljno da $p$ bude neparno. Tada važi da je broj

$\frac{(-1)^q}{(p/q)^{q/p}}$

racionalan broj, što znači da je $(p/q)^{q/p}$ racionalan broj, pa prema prethodnom mora biti $p=1$ , pa su jedini negativni racionalni brojevi $r$ za koje je $r^{1/r}$ racionalan broj oblika $-1/n$ gde je $n$ prirodan broj.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme