Neka su
prirodni brojevi takvi da važi
, i pri čemu su napisani razlomci neskratljivi. Dakle,
(1)
,
odnosno
i
. Pošto su
i
uzajamno prosti, oni nemaju nijedan zajednički prost delilac, pa ga nemaju ni
i
, pa su i oni uzajamno prosti, pa
i
, odnosno za neke prirodne brojeve
važi
(2)
i
.
Odatle i iz (1) sledi da je
, odnosno
. Odatle i iz (2) sledi da pošto su
i
uzajamno prosti, mora biti
, odnosno
i
.
Ako za prirodan broj
i prost broj
sa
označimo najveći ceo broj takav da
, onda iz prethodnog sledi da za ma koji psost broj
važi
i
, pa pošto su
i
uzajamno prosti, važi
i
, pa pošto to važi za svaki prost broj
brojevi
i
su potpuni
-ti stepeni, odnosno za neke pridodne brojeve
i
važi
i
. Pritom je
moguće samo za
.
Dakle, jedini pozitivni racionalni brojevi
za koje je
racionalan broj su recipročne vrednosti pridodnih brojeva.
Pronađimo negativne. Neka su
i
prirodni brojevi za koje je
racionalan broj. Da bi to bilo definisano, potrebno je i dovoljno da
bude neparno. Tada važi da je broj
racionalan broj, što znači da je
racionalan broj, pa prema prethodnom mora biti
, pa su jedini negativni racionalni brojevi
za koje je
racionalan broj oblika
gde je
prirodan broj.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
Re: ms matematika....
Registrovani: 0 ( 0 )