[es] - Polinom deobe kruga i Gausova lema

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8752
*.dial.InfoSky.Net.

+2807 Profil

^{19.06.2005. u 03:08 - pre 255 meseci}

Hteo bih da napišem kratak tekst o polinomu deobe kruga na jednake delove. Pošto vidim da ima interesovanja za ispitivanje trigonometrijskih identiteta, primenio bih ga na taj problem. Kao što ću pokazati, postoji algoritam kojim se za svaku algebarsku jednakost sa celim koeficijentima između sinusa i kosinusa proizvoljnog broja uglova koji se izražavaju kao racionalni umnošci punog kruga utvrđuje da li je tačna ili ne. Tako na primer, videćemo kako se tim algoritmom jednostavno izračunava koliko je

ili

Neka je

Jednačina

u polju kompleksnih brojeva ima

rešenja koja se izražavaju sa

gde

Rešenja te jednačine se zovu

-ti koreni iz jedinice. One od njih koji nisu

-ti koreni ni za jedno

zovemo i primitivnim

-tim korenima iz jedinice. To su tačno brojevi oblika

gde je

uzajamno prosto sa

Polinom

gde je

skup primitivnih

-tih korena iz jedinice zovemo polinomom deobe kruga na

jednakih delova.

Nije teško pokazati da za svaki prirodan broj

važi

Odatle dobijamo rekurentnu formulu za računanje polinoma deobe kruga.

Pomoću ove formule indukcijom se dokazuje da svi polinomi deobe kruga imaju celobrojne koeficijente među kojima je vodeći jednak jedinici.

Dakle,

je jedan algebarski identitet sa racionalnim koeficijentima. Pritom ne postoji niti jedan algebarski identitet za

gde je

uzajamno prosto sa

sa racionalnim koeficijentima nižeg stepena osim identiteta

. Recimo, ako je

budući da je

možemo biti sigurni da je na primer

Međutim, minimalnost stepena tu nije lako dokazati. Ta činjenica je ekvivalentna sa činjenicom da se polinom deobe kruga ne može zapisati kao proizvod dva polinoma sa racionalnim koeficijentima stepena najmanje jedan. Da bi se to dokazalo, neophodno je dokazati najpre sledeće pomoćno tvrđenje:

Gausova lema: Neka je

polinom sa celim koeficijentima. Tada se on može prikazati kao proizvod dva polinoma stepena bar jedan sa racionalnim koeficijentima ako i samo ako se može prikazati kao proizvod dva polinoma stepena bar jedan sa celim koeficijentima.
Dokaz: Nekonstantan celobrojan polinom zvaćemo primitivnim ako ne postoji prost broj koji deli sve njegove koeficijente. Najpre pokažimo da je proizvod dva primitivna polinoma primitivan polinom.

Neka su

primitivni polinomi i

njihov proizvod. Ako je

prost broj, onda po pretpostavci postoje najmanji indeksi

takvi da

No, tada će

biti zbir nekih sabiraka deljivih sa

i broja

koji nije deljiv sa

Neka je sada

celobrojan polinom i pritom neka je

za neke polinome sa racionalnim koeficijentima stepena barem jedan. Pretpostavimo da su njihovi nenula koeficijenti zapisani u vidu količnika uzajamno prostih celih brojeva. NZD brojilaca koeficijenata iz polinoma