[es] - Dvostruki integral po površini i granice integrala pri smeni u polarne koordinate

del-boy
Bojan Delić
Beograd

Član broj: 9330
Poruke: 1089

Sajt: www.delic.in.rs

+21 Profil

Dvostruki integral po površini i granice integrala pri smeni u polarne koordinate

^{08.02.2010. u 19:34 - pre 173 meseci}

Treba da nađem integral:

po sledećoj površini:

Nakon sređivanja se dobiju dve kružnice:

Po postavljenim uslovima to je osenčena površina na slici (izvinjavam se zbog loše slike, nemam ni jedan adekvatan alat pri ruci):

Nakon smene u polarne koordinate:

dobijem:

Dalje, u rešenju stoji sledeći integral:

Ono što mi ovde nije jasno je način na koji su dobijene granice integrala (sva četiri). Mogu da naslutim od slučaja do slučaja, ali ne znam u opštem slučaju kako da ih dobijem, pa ako može neko to da mi razjasni malo...

Imam još ovakvih zadataka koji su mi problematični, ali većinom se to svodi na određivanje granica. U suštini radim i računanje površina i zapremina preko dvostrukog integrala i uglavnom se radi smena u polarne koordinate.

Unapred se izvinjavam ako sam neku glupost u kucanju formula napravio, prvi put radim sa LaTeX-om...

Prikačeni fajlovi

figura.PNG - 5.63k

Odgovor na temu

Cabo
Lokanje u bircuzu

Član broj: 10942
Poruke: 684
*.vdial.verat.net.

+5 Profil

Re: Dvostruki integral po površini i granice integrala pri smeni u polarne koordinate

^{08.02.2010. u 20:10 - pre 173 meseci}

Pa, prosto. Uvek ćeš imati neke jednačine. Samo treba da provališ iz njih koje su granice za promenljive

, itd. To se lakše radi preko polarnih koordinata. To je sva mudrost — lakše, preko polarnih kordinata. U određenim slučajevima.

Ako oblasti izgledaju previše komplikovano — iscepkaj ih na jednostavnije.

Dvojni i trojni integrali su najlakši. Površinski su neznatno komplikovaniji, ali prava težina u Analizi 2 su parametarski integrali. Kad njih savladaš, svi ostali su ti teški koliko i

Kliknite da vidite kako da pišete matematičke formule u [tex]TeX[/tex]-u bez slanja slika

Odgovor na temu

del-boy
Bojan Delić
Beograd

Član broj: 9330
Poruke: 1089

Sajt: www.delic.in.rs

+21 Profil

Re: Dvostruki integral po površini i granice integrala pri smeni u polarne koordinate

^{09.02.2010. u 00:19 - pre 173 meseci}

Da li to znači da ne postoji neko pravilo, nego je svaki zadatak za sebe?

U ovom konkretnom slučaju, kad se računa površina dela na pozitivnoj strani

ose, donja granica je

. To sam nema šanse da bih pretpostavio. Ovako kad vidim, možda nekako mogu intuitivno da pretpostavim zašto je to tako, ali ne i da objasnim. Zato me zanima da mi neko objasni zašto je u ovom slučaju ovakva situacija, a ako već jeste svaki zadatak za sebe, bez nekog pravila, pitaću ponovo ako naletim na nešto što ne mogu da skontam :)

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.mbb.telenor.rs.

+2790 Profil

Re: Dvostruki integral po površini i granice integrala pri smeni u polarne koordinate

^{09.02.2010. u 08:40 - pre 173 meseci}

U drugom dvojnom integralu se

kreće od

, a za datu konkretnu vrednost za

kreće od

do 1.

To je opšti slučaj. Ideš od spoljnog d ka unutrašnjim, za prvu promenljivu utvrdiš granice, a onda za svaku sledeću utvrđuješ granice u zavisnosti od vrednosti svih prethodnih promenljivih.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

Cabo
Lokanje u bircuzu

Član broj: 10942
Poruke: 684
*.mi.sanu.ac.rs.

+5 Profil

Re: Dvostruki integral po površini i granice integrala pri smeni u polarne koordinate

^{09.02.2010. u 13:21 - pre 173 meseci}

Citat:

del-boy: donja granica je

. To sam nema šanse da bih pretpostavio.

Dovijaš se kako znaš. Dakle, vidiš da treba ići od kruga sa centrom u 1 (ako ne grešim), pa gledaš kako bi predstavio to u polarnim koordinatama. A kada jednom primeniš polarne koordinate, ne traži neki smisao (pod tim mislim na ono „kako bi se do toga došlo 's neba pa u rebra', da nismo krenuli od

“).

Kliknite da vidite kako da pišete matematičke formule u [tex]TeX[/tex]-u bez slanja slika

Odgovor na temu

del-boy
Bojan Delić
Beograd

Član broj: 9330
Poruke: 1089

Sajt: www.delic.in.rs

+21 Profil

Re: Dvostruki integral po površini i granice integrala pri smeni u polarne koordinate

^{09.02.2010. u 17:58 - pre 173 meseci}

Toga sam se i bojao :)

Hvala u svakom slučaju...

Odgovor na temu

miki069

Član broj: 161528
Poruke: 1951
212.200.34.*

+370 Profil

Re: Dvostruki integral po površini i granice integrala pri smeni u polarne koordinate

^{09.02.2010. u 19:07 - pre 173 meseci}

Nemoj toga da se bojiš.
Kako bi izgledala slika da je u drugom integralu bilo r na intervalu od 0 do 1?
Nacrtaj tu sliku pa će onda biti jasnije zašto r ide od 2*cos(fi) do 1.
Savet:
uzmi Apsena 3. Uz nedostatke koje knjiga ima (Nedeljko ih već navodio detaljno), objašnjeno je do detalja kako se određuju granice.
Sve je lepo ilustrovano. Za tehničke fakultete više nego dovoljno.

Odgovor na temu

Cabo
Lokanje u bircuzu

Član broj: 10942
Poruke: 684
*.vdial.verat.net.

+5 Profil

Re: Dvostruki integral po površini i granice integrala pri smeni u polarne koordinate

^{09.02.2010. u 20:20 - pre 173 meseci}

Pa nema šta, cilj zadataka sa dvojnim i trojnim integralima ti je da dobiješ neku konstantu (uglavnom...), a ne da razmatraš šta je šta i kako izgleda. Dakle, račun, račun, i — rezultat.

Čak sam sablažnjavao neke kolege izjavom da slika uopšte nije potrebna, samo gledaš formule.

Kliknite da vidite kako da pišete matematičke formule u [tex]TeX[/tex]-u bez slanja slika

Odgovor na temu

del-boy
Bojan Delić
Beograd

Član broj: 9330
Poruke: 1089

Sajt: www.delic.in.rs

+21 Profil

Re: Dvostruki integral po površini i granice integrala pri smeni u polarne koordinate

^{09.02.2010. u 22:14 - pre 173 meseci}

Citat:

miki069: Nemoj toga da se bojiš.
Kako bi izgledala slika da je u drugom integralu bilo r na intervalu od 0 do 1?
Nacrtaj tu sliku pa će onda biti jasnije zašto r ide od 2*cos(fi) do 1.
Savet:
uzmi Apsena 3. Uz nedostatke koje knjiga ima (Nedeljko ih već navodio detaljno), objašnjeno je do detalja kako se određuju granice.
Sve je lepo ilustrovano. Za tehničke fakultete više nego dovoljno.

Da, jasnije je kad postavim

umesto

.

Mnogo pomaže kad probaš integral tipa

da pretvoriš u

. Uradio sam to na par primera i sad dosta bolje razumem načine dobijanja granica...

Odgovor na temu

zzzz
milan kecman
bluka

Član broj: 11810
Poruke: 2154
*.broadband.blic.net.

+196 Profil

Re: Dvostruki integral po površini i granice integrala pri smeni u polarne koordinate

^{09.02.2010. u 23:27 - pre 173 meseci}

Ja nisam zadovoljan kako su ti pomagali Nedeljko,Savo i Miki.
Uglavnom su vrlo uspješni ali vidim da ih ne kužiš jer su površni.

Da probam i ja pompći:

1)Uvijek granice određuj uz pomoć geometrijske slike!
2)Ako granice nisu konstanta (a to je u ovom primjeru slučaj!),
probaj na osnovu slike napraviti funkcijonalnu zavisnost te granice o
narednoj varijabli.(r=f(fi)

Sad bih ja mogao napraviti slikicu pa da ti bude odmah sve jasno,ali radije neću.
Probaću pričom dočarati pa sam crtaj.

Zamisli da da na onom tvom crtežu neka poluprava sa centrom u ishodištu rotira kontra kazaljki sata.I onda na 60 stepeni počne kačiti
onu zatamnjenu ravan.I za svaki naredni djelić ugla zatamni dio one
osjenčene površine.U opštem slučaju udaljenost vanjske ivice od centra
je jedan (konstanta).To ti je vanjska granica integracije za r.A unutrašnja granica nije konstanta.Nekako ide ka centru rotacije zato što slijedi onu drugu kružnicu,jel tako?(A za ugao granice su ti od 60 do 90 stepeni.)

Ajmo naći udaljenost tačke presjeka (poluprave i one druge kružnice)
od centra rotacije u ovisnosti od fi.
(A to nam je ta donja granica integracije i treba nam)

Za rješavanja ovog problema obavezno treba znati da je periferni
ugao u kružnici duplo manji od centralnog i da je za slučaj da je centralni ugao 180 stepeni,onaj periferni jednak 90 (pravi).

Odavde slijedi da je ona donja granica zapravo manja kateta pravouglog trokuta kome hipotuneza leži na x osi i ima dužinu 2,a nassuprot nje je
ugao jednak fi.Jel tako?Pa je onda ta donja granica jednaka 2sin(fi).

A ne 2cos(fi)!,ako nisam gdje pogriješio.

________________________________

Najbolja kritika formule za Sagnac effect:
https://www.omicsonline.org/op...090-0902-1000189.php?aid=78500

OK evo prave formule:P=2wft^2 [period]

Odgovor na temu

miki069

Član broj: 161528
Poruke: 1951
212.200.34.*

+370 Profil

Re: Dvostruki integral po površini i granice integrala pri smeni u polarne koordinate

^{09.02.2010. u 23:52 - pre 173 meseci}

Milane baš lepo dočarano.
Ipak je 2*cos(fi)

Odgovor na temu

zzzz
milan kecman
bluka

Član broj: 11810
Poruke: 2154
*.broadband.blic.net.

+196 Profil

Re: Dvostruki integral po površini i granice integrala pri smeni u polarne koordinate

^{10.02.2010. u 00:04 - pre 173 meseci}

Citat:

miki069: Milane baš lepo dočarano.
Ipak je 2*cos(fi)

Idem iz kafane pun piva.U pravu si jer ono nasuprot nije bio
ugao fi već 90-fi.Sve vidim duplo šta ćeš.

________________________________

Najbolja kritika formule za Sagnac effect:
https://www.omicsonline.org/op...090-0902-1000189.php?aid=78500

OK evo prave formule:P=2wft^2 [period]

Odgovor na temu