To zavisi od toga šta izabereš za aksiomu (ili aksiome) neprekidnosti.
Aksioma supremuma (S): Svaki neprazan odozgo ograničen podskup od
ima supremum u
.
Dedekindova aksioma (D): Ako je skup
disjunktna unija nepraznih skupova
i
, pri čemu je svaki element skupa
manji od svakog elementa skupa
, onda postoji realan broj
takav da su svi realni brojevi manji od
članovi skupa
, a svi realni brojevi veći od
članovi skupa
.
Arhimedova aksioma (A): Za ma koje
,
postoji
takav da je
.
Kantorova aksioma (K): Ma koji beskonačan niz
nepraznih ograničenih zatvorenih intervala takav da je
ima neprazan presek, odnosno
.
Važi da je (S) ekvivalentno sa (D), odnosno sa konjunkcijom (A) i (K).
(D) povlači (S):
Neka je
odozgo ograničen podskup od
i neka je
,
.
Pošto za
važi
i ma koja majoranta skupa
pripada skupu
, skupovi
i
su neprazni. Očiglednosu disjunktni i unije im je
. Ako
i
, onda postoji
takav da je
. Zbog
ne može biti
, pa je
odnosno
. Neka je
kao iz (D). Neka
nije majoranta od
i neka je
takvo da je
. Onda za
važi
. Zbog
važi
, a zbog
važi
. Ta kontradikcija dokazuje da je
majoranta od
. Ukoliko bi neko
bilo majoranta, postojalo bi
takvo da je
suprotno tome da je
majoranta od
. Stoga je
supremum skupa
.
S povlači D:
Ako važi S i A i B su skupovi kao u D, onda je skup A neprazan i odozgo ograničen, pa ima supremum c. Obzirom da je c majoranta od A, veći elementi od c ne mogu pripadati skupu A, pa pripadaju skupu B. Ako bi neki realan broj manji od c pripadao skupu B, onda bi i on bio majoranta skupa A, pa c ne bi bila najmanja majoranta (supremum). Prema tome, realni brojevi manji od c ne mogu pripdatai skupu B, pa pripadaju skupu A.
D povlači A:
Neka važi D i ne važi A. Neka su a i b takvi pozitivni realni brojevi da za sve prirodne brojeve n važi da je na manje ili jednako od b. Neka je A skup svih realnih brojeva x takvih da je x<na za bar jedan prirodan broj n i neka je B komplement skupa A. Pošto b ne pripada skupu A, b pripada skupu B. Takođe, a pripdada skupu A jer je a manje od 2a. Skup R je disjunktna unija nepraznih skupova A i B. Neka je x element skupa A i y element skupa B. Neka je n prirodan broj takav da je x<na, što je manje ili jednako od y, važi x<y. Neka je c razdva
(S) povlači (A):
Neka važi (S) i ne važi (A). Neka su
takvi da
. Skup
.
Skup
je neprazan zbog
a odozgo ograničen jer mu je
majoranta. Stoga ima supremum
. Zbog
broj
nije majoranta skupa
pa postoji
takvo da je
, odnosno
, što je u suprotnosti sa tim da je
supremum skupa
.
(S) povlači (K):
Neka je
inkluzijski nerastući niz nepraznih ograničenih zatvorenih intervala i neka je
. Zbog
. Zbog
i
važi
, odnosno
, pa je niz
neopadajući i za svako
broj
je majoranta niza
(jer je
za ma koje
). Stoga je skup
nepraznan i odozgo ograničen, pa ima supremum
, koji ne prelazi nijednu majorantu, pa ni
. Stoga je
, odnosno
.
(A) i (K) povlači (D):
Neka su
i
kao u (D). Za
i
važi
i konstruišimo nizove
na sčedeći način:
,
,
.
Ako je
, onda je
i
.
Ako je
, onda je
i
.
Niz
je neopadajući, a niz
nerastući, pri čemu je
,
i
. Stoga postoji neko
koje pripada svakom od intervala
. Takođe je
.
Neka je
. Pošto je
postoji
takvo da je
, pa je
zbog čega ne mogu oba od brojeva
i
da pripadaju intervalu
. Obzirom da
[/tex] zaključujemo da
, pa zbog
važi
, odakle sledi
.
Neka je
. Pošto je
postoji
takvo da je
, pa je
zbog čega ne mogu oba od brojeva
i
da pripadaju intervalu
. Obzirom da
[/tex] zaključujemo da
, pa zbog
važi
, odakle sledi
.
Gustina skupa
u
je posledica od (A).
Neka je
. Zbog
postoji
takvo da je
, pa je
. Postoji
takvo da je
. Uočimo najmanje takvo celobrojno
. Dakle,
, pa
.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.