BTW, LaTeX sa ovog foruma ne podržava komande \leqslant i \geqslant, nego se moraju koristiti \leq i \geq, pa u vezi s tim ispravljam greške koje su se potkrale u formulama.
Potvrdan odgovor na 3, a samim tim i na 1 sledi iz sledećeg iskaza:
Citat:
Svaki algebarski broj je racionalan ili normalan.
Ovaj iskaz nije dokazan. Predstavlja hipotezu koja je najverovatnije tačna. Pomenuti zadaci iz prve poruke za sada nisu rešeni (ne samo na ovom forumu, nego uopšte u matematici).
Navodim definicije:
A) Za kompleksan broj
![](https://static.elitesecurity.org/tex/64d3dae627ebefd097b7916f8bdc6826.png)
kažemo da je algebarski ako postoji barem jedan polinom
![](https://static.elitesecurity.org/tex/d7043c982095f89c82a4144252802d98.png)
takav da su svi od brojeva
![](https://static.elitesecurity.org/tex/bba834647fd5ad410c6f3ad1e5834018.png)
celi (odnosno racionalni) brojevi, od koji je barem jedan različit od nule i pri čemu je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/8f9a04fc4f81a567a3c53ff06107f847.png)
. U suprotnom se za kompleksan broj
![](https://static.elitesecurity.org/tex/64d3dae627ebefd097b7916f8bdc6826.png)
kaže da je transcedentan.
B) Neka je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/64d3dae627ebefd097b7916f8bdc6826.png)
realan broj takav d aje
![](https://static.elitesecurity.org/tex/7cd300a0fbb3ed837cc69ef471c7b038.png)
i neka je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/03af8c4d4ec21f75b139b3b67635d1e3.png)
ceo broj. Tada postoji tačno jedan beskonačan niz celih brojeva
![](https://static.elitesecurity.org/tex/76f17082cc21a958a75929cc8d985110.png)
za koji važi
![](https://static.elitesecurity.org/tex/effb508987b1a7efeb10f9a8dee899e3.png)
i
![](https://static.elitesecurity.org/tex/2887e440aba0b6d0090062e40644fb8d.png)
i pri čemu nisu svi elementi niza počev od nekog jednaki
![](https://static.elitesecurity.org/tex/c59e7e837223e4b497e1557b6360ed66.png)
. Tada za niz
![](https://static.elitesecurity.org/tex/76f17082cc21a958a75929cc8d985110.png)
kažemo da je decimalni razvoj broja
![](https://static.elitesecurity.org/tex/64d3dae627ebefd097b7916f8bdc6826.png)
u standardnom pozicionom sistemu sa osnovom
![](https://static.elitesecurity.org/tex/92e440f27bdf4c6d6b1b23402b249227.png)
.
C) Za realan broj
![](https://static.elitesecurity.org/tex/64d3dae627ebefd097b7916f8bdc6826.png)
se kaže da je normalan ako za svaki ceo broj
![](https://static.elitesecurity.org/tex/03af8c4d4ec21f75b139b3b67635d1e3.png)
važi sledeće:
Neka je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/803b7d26756981a7b1995941212fb69b.png)
jedinstveni ceo broj za koji važi
![](https://static.elitesecurity.org/tex/40ca8a7181934f2ded2eefc97c5d749b.png)
i neka je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/76f17082cc21a958a75929cc8d985110.png)
decimalni razvoj u standardnom pozicionom sistemu sa osnovom
![](https://static.elitesecurity.org/tex/92e440f27bdf4c6d6b1b23402b249227.png)
. Tada za svaki ceo broj
![](https://static.elitesecurity.org/tex/cb9f063f28f58b62abcd79719ae08f40.png)
takav da je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/62b58b580b249bae941a6c8b5626312d.png)
važi da mu relativna frekvencija pojavljivanja teži ka
![](https://static.elitesecurity.org/tex/de901cc6e51da44deb4d805ca8a56720.png)
. Drugim rečima, ako je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/25cf81d8bee718cd0c60d1a253374a7f.png)
broj pojavljivanja broja
![](https://static.elitesecurity.org/tex/cb9f063f28f58b62abcd79719ae08f40.png)
u nizu
![](https://static.elitesecurity.org/tex/e2dd133f305c9494becd67056fc52f68.png)
(dakle, na prvih
![](https://static.elitesecurity.org/tex/bd2b320696c94ea17dd122cd137b965c.png)
mesta), onda je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/b077880f3234f1f181035c5cd2da3079.png)
.
Ako iracionalan realan broj u svom decimalnom razvoju sadrži samo cifre 0 i 1, onda on nije normalan jer je frekvencija pojavljivanja cifre 2 jednaka nuli, pa prema navedenoj hipotezi ne može biti algebarski, odnosno transcedentan je.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.