Ne znam zašto se nigde ne pominje svođenje dokazivanja konveksnosti funkcija više promenljivih na slučaj jedne promenljive, pa hajde ja da napišem.
Neka je funkcija
![](https://static.elitesecurity.org/tex/e998c9527e371853239813f929cc394b.png)
definisana na konveksnom domenu. Tada je funkcija
![](https://static.elitesecurity.org/tex/9277a401b77610ab14a129e33684ea32.png)
(strogo) konveksna (odnosno konkavna) akko je za ma koje različite tačke
![](https://static.elitesecurity.org/tex/ff62c2cbb50e2084d0654ddd72c08ada.png)
i
![](https://static.elitesecurity.org/tex/afca5550603e8017df98ee98bcfd3162.png)
funkcija
![](https://static.elitesecurity.org/tex/748c9c5e78c99c89d3c69a40a25a3965.png)
za
![](https://static.elitesecurity.org/tex/726c4bcf59cda462a50e341c4928106b.png)
.
Tada se u slučaju diferencijabilnosti, odnosno dvostruke diferencijabilnosti može koristiti kriterijum za funkcije jedne promenljive, s tim da se to mora dokazati za sve međusobno različite
![](https://static.elitesecurity.org/tex/64d3dae627ebefd097b7916f8bdc6826.png)
i
![](https://static.elitesecurity.org/tex/92e440f27bdf4c6d6b1b23402b249227.png)
iz domena. Ukoliko je funkcija
![](https://static.elitesecurity.org/tex/9277a401b77610ab14a129e33684ea32.png)
definisana preko neke funkcije jedne promenljive kao u navedenom zadatku, onda se lako rešava onako kako je Sonec napisao.
Za funkcije jedne promenljive važi da je funkcija
![](https://static.elitesecurity.org/tex/e554fab17b1fee0190e76d0e8c7e1d2e.png)
, gde je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/75bff4cb58b6adc7240ce1b760c6801a.png)
pravi interval (ograničen ili neograničen) (strogo) konveksna akko je zadovoljen bilo koji od sledećih ekvivalentnih uslova:
1) Za ma koje
![](https://static.elitesecurity.org/tex/3e56695b353cf928c442509e810391b3.png)
takve da je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/02984c1d48854c499acedf09ba3fce5f.png)
važi da je determinanta
(strogo) veća od nule. Ovde "veća" bez "strogo" znači "veća ili jednaka".
2) Pod uslovom da je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/64d3dae627ebefd097b7916f8bdc6826.png)
najmanja vrednost intervala
![](https://static.elitesecurity.org/tex/75bff4cb58b6adc7240ce1b760c6801a.png)
, funkcija
![](https://static.elitesecurity.org/tex/9277a401b77610ab14a129e33684ea32.png)
je (strogo) konveksna na intervalu
![](https://static.elitesecurity.org/tex/ac6acce484b2dde1889cee5753a08504.png)
, važi da je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/93557263f778edda187a8c32a8989ca8.png)
.
3) Pod uslovom je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/92e440f27bdf4c6d6b1b23402b249227.png)
najveća vrednost intervala
![](https://static.elitesecurity.org/tex/75bff4cb58b6adc7240ce1b760c6801a.png)
, funkcija
![](https://static.elitesecurity.org/tex/9277a401b77610ab14a129e33684ea32.png)
je (strogo) konveksna na intervalu
![](https://static.elitesecurity.org/tex/aa34d9f5863679f5b275f6ef05574271.png)
, važi da je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/1d33e4652a2d953f7af89b849b50e76a.png)
.
4) Ako za barem jedno
![](https://static.elitesecurity.org/tex/d25015e49f701323d816216213f49b56.png)
važi da je funkcija
![](https://static.elitesecurity.org/tex/e3f9fb1dce80be5632bd2201563bd665.png)
,
![](https://static.elitesecurity.org/tex/305aa26069e742249b8a2f84dc7f5c11.png)
(strogo) monotono neopadajuća. Ovde "strogo monotono neopadajuća" znači "strogo rastuća".
5) Ako za svako
![](https://static.elitesecurity.org/tex/d25015e49f701323d816216213f49b56.png)
važi da je funkcija
![](https://static.elitesecurity.org/tex/e3f9fb1dce80be5632bd2201563bd665.png)
,
![](https://static.elitesecurity.org/tex/305aa26069e742249b8a2f84dc7f5c11.png)
(strogo) monotono neopadajuća.
6) Pod uslovom da interval
![](https://static.elitesecurity.org/tex/75bff4cb58b6adc7240ce1b760c6801a.png)
nema najmanju niti najveću vrednost i da je funkcija
![](https://static.elitesecurity.org/tex/9277a401b77610ab14a129e33684ea32.png)
diferencijabilna na njemu, važi da je funkcija
![](https://static.elitesecurity.org/tex/f3fcf1b38e0728a40332d9f339bea096.png)
monotono neopadajuća, i da u slučaju da se traži stroga konveksnost važi da
![](https://static.elitesecurity.org/tex/f3fcf1b38e0728a40332d9f339bea096.png)
nije konstantno ni na jednom pravom intervalu.
7) Pod uslovom da interval
![](https://static.elitesecurity.org/tex/75bff4cb58b6adc7240ce1b760c6801a.png)
nema najmanju niti najveću vrednost i da je funkcija
![](https://static.elitesecurity.org/tex/9277a401b77610ab14a129e33684ea32.png)
dva puta diferencijabilna na njemu, važi da je funkcija
![](https://static.elitesecurity.org/tex/f41538165f91d2a8d042402c488ddb56.png)
nenegativna, i da u slučaju da se traži stroga konveksnost važi da
![](https://static.elitesecurity.org/tex/f41538165f91d2a8d042402c488ddb56.png)
nije konstantno jednako nuli ni na jednom pravom intervalu.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.