Erdeš-Mordelova nejednakost i njena uopštenjaPošto je Erdeš-Mordelova nejednakost jedna od najbitnijih nejednakosti u trouglu, evo nešto priče o njoj zajedno sa uopštenjima koja sam uspeo da pronađem.
1) Originalni oblik (1935)
Originalna nejednakost bila je postavljena od strane Erdeša (Paul Erdős, 26.3.1913—20.9.1996) 1935. godine a dokazana je dve godine kasnije i od tada izaziva interesovanje. Formulacija glasi ovako:
Neka je
proizvoljna tačka unutar trougla 
. Obeležimo sa 
, 
, 
i 
, 
, 
rastojanja od tačke do temena 
, 
, 
, odnosno stranica 
, 
, 
, redom. Tada važi sledeća nejednakost:
Jednakost važi ako i samo ako je posmatrani trougao jednakostraničan a
njegov centar.2) A Weighted Erdős-Mordell Inequality (2001)
Šoni Dar (hebr. שוני דר, engl. Seannie Dar) i Ši Giron (hebr. שי גירון, engl. Shay Gueron) 2001. godine su u februarskom broju časopisa American Mathematical Monthly (str. 165-168) prezentovali sledeće uopštenje:
Za proizvoljne pozitivne realne brojeve
, 
, 
(uz gornje oznake) važi sledeća nejednakost:
Jednakost važi ako i samo ako je
(gde su 
, 
, 
stranice trougla) i centar opisane kružnice.Napomena: Ovaj izraz je prvi put prezentovan još 1989. u knjizi "Recent Advances in Geometric Inequalities" (strana 318, teorema 15) ali bez dokaza i predstavljen je (pogrešno) kao jednakost.
3) A Weighted Erdős-Mordell Inequality - još opštiji oblik (2004)
Valter Janous (Walther Janous) je u e-časopisu Forum Geometricorum (broj 4) dodatno uopštio prethodnu nejednakost. Njegova verzija glasi ovako:
Za ma koji realan broj
, 
, uz do sada korišćene oznake, važi sledeće:
, dok za 
važi:
Jednakost važi ako i samo ako je
(gde su , , stranice trougla) i centar opisane kružnice.4) A Weighted Erdős-Mordell Inequality for Polygons (2005)
Verovatno najveće uopštenje Erdeš-Mordelove nejednakosti dali su Ši Giron i Iti Šafrir (hebr. איתי שפריר, engl. Itai Shafrir) — zvanična verzija biće objavljena u časopisu American Mathematical Monthly, mart 2005. Oni su dokazali sledeće:
Neka je
poligon sa 
temena, i neka je tačka u njegovoj unutrašnjosti. Neka su 
, 
, 
, 
i 
, 
, , 
, 
rastojanja od tačke do temena 
, 
, , 
, odnosno stranica 
, 
, , 
, 
, redom. Neka su još i 
, 
, , 
pozitivni realni brojevi. Tada je:
Slučaj kada važi jednakost nije jednostavno objasniti, ali ću se truditi da budem što precizniji.
Neka je
i neka je 
. Jednakost važi akko postoji vektor 
takav da je 
, 
, i pri tom je posmatrani poligon tetivan sa temenima 
, , dok je tačka 
(tj. centar opisane kružnice tog mnogougla). Naravno, u obzir dolaze i/ili translacija, rotacija i homotetija.Toliko od mene, ako imate neke dopune, ispravke, komentare, predloge, pitanja i sve ostalo slobodno to napišite u ovoj temi.
[Ovu poruku je menjao Bojan Basic dana 13.10.2006. u 21:44 GMT+1]
Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.
