[es] - Koliki je broj PI

Bojan Basic
Novi Sad

SuperModerator
Član broj: 6578
Poruke: 3996
*.dynamic.sbb.co.yu.

Jabber: bojan_basic@elitesecurity.org
ICQ: 305820253

+605 Profil

Re: Koliki je broj PI

^{29.06.2007. u 15:21 - pre 204 meseci}

Ako je nešto prihvaćeno u matematičkom svetu i ako matematičari veći od Pere i Žike godinama nisu pronašli nikakvu grešku u nekom dokazu, onda smatram da i Pera i Žika mogu bez problema prihvatiti to kao fakat. To posebno dolazi do izražaja u današnje vreme, kada je kontrola matematičkih radova na znatno većem nivou nego što je bila pre jednog ili dva veka (ali s druge strane, da je neki bitan dokaz od pre dva veka faličan, opet bi se svakako našao neko ko bi ga već osporio). Ukoliko se ne slažeš s iznetim, rado ću se naći s tobom da mi u dve-tri reči objasniš dokaz Fermaove velike teoreme — dotle mi ostaje samo da prihvatim istinitost toga što ona tvrdi (mada, nije da nisam već u više navrata čitao što sam dokaz, što diskusije o njemu).

Shodno tome, ne vidim zašto se ovo rečeno ne može primeniti i na iracionalnost broja

. Ako me baš konkretno pitaš — da, znam da je „najmanje jedan od dokaza dobar“ — ali me i dalje nisi ubedio da je to neophodno kako bih imao prava da pričam o iracionalnosti.

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Odgovor na temu

uranium
Beograd

Član broj: 60097
Poruke: 543
*.eunet.yu.

Jabber: uranium@elitesecurity.org
ICQ: 324386953

+5 Profil

Re: Koliki je broj PI

^{29.06.2007. u 15:22 - pre 204 meseci}

Citat:

Nedeljko:...koliko ljudi je barem jednom proučilo barem jedan dokaz iracionalnosti broja i lično se uverilo u to?

...pa...strogo više od 1

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Prikačeni fajlovi

Laczkovich - Lambert.pdf - 138.89k

Breusch.pdf - 51.08k

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
195.252.119.*

+2789 Profil

Re: Koliki je broj PI

^{29.06.2007. u 15:37 - pre 204 meseci}

Citat:

Bojan Basic: Ako je nešto prihvaćeno u matematičkom svetu i ako matematičari veći od nas dvojice godinama nisu pronašli nikakvu grešku u nekom dokazu, onda smatram da i nas dvojica možemo bez problema prihvatiti to kao fakat.

Pa, sad... to je jedna vrsta empirijske potvrde, svakako ne matematički metod.

Citat:

Bojan Basic: Ukoliko se ne slažeš s iznetim, rado ću se naći s tobom da mi u dve-tri reči objasniš dokaz Fermaove velike teoreme

Zašto postavljati ograničenja na dužinu dokaza (dve-tri reči, jedna margina itd.)? Da li to znači da Vajls-Tejlorov dokaz nije dobar zato što je malo duži od toliko?

Citat:

Bojan Basic: dotle mi ostaje samo da prihvatim istinitost toga što ona tvrdi.

Ostaju ti i druge mogućnosti, kao na primer da zadržiš crva sumnje dok se lično ne uveriš, ako ikada budeš do kraja proverio taj dokaz. Ovo što si naveo je samo jedna od mogućnosti, koja je legitimna koliko i neke druge.

Citat:

Bojan Basic: Ako me baš konkretno pitaš — da, znam da je „najmanje jedan od dokaza dobar“.

Ovo je već bolje. Nadam se da je to posledica toga što si barem jednom proučio barem jedan korektan dokaz te teoreme i uverio se u to.

Citat:

Bojan Basic: ali me i dalje nisi ubedio da je to neophodno kako bih imao prava da pričam o iracionalnosti.

Ma, ko ti brani da pričaš o čemu god hoćeš. Ne radi se o tome. Ovo je jedna čuvena teorema koja se utuvljuje još od osnovne škole (dakle, milijardama ljudi), ali je broj ljudi koji su se lično uverili u to jako mali.

Citat:

uranium: ...pa...strogo više od 1 :)

Svakako. Jedan sam ja, a drugi je onaj ko je smislio neki od dokaza koji sam čitao. No, fascinira me koliko se ljudi kunu u nešto samo zato što im je to rekla učiteljica.

Sve u svemu, mislio sam da dokumentujem jedan dokaz u okviru ove teme, ali me je sada prošla volja.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
195.252.119.*

+2789 Profil

Re: Koliki je broj PI

^{29.06.2007. u 15:40 - pre 204 meseci}

Empirijski dokaz: Ako nisam umro do danas, neću ni danas. Znači, besmrtan sam.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
195.252.119.*

+2789 Profil

Re: Koliki je broj PI

^{29.06.2007. u 15:46 - pre 204 meseci}

Citat:

uranium: ...pa...strogo više od 1 :)

Izvinjavam se. Nisam video prikačene fajlove.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

Bojan Basic
Novi Sad

SuperModerator
Član broj: 6578
Poruke: 3996
*.dynamic.sbb.co.yu.

Jabber: bojan_basic@elitesecurity.org
ICQ: 305820253

+605 Profil

Re: Koliki je broj PI

^{29.06.2007. u 16:00 - pre 204 meseci}

Citat:

Nedeljko:
Pa, sad... to je jedna vrsta empirijske potvrde, svakako ne matematički metod.

Matematika počiva na tome da se ono što se smatra urađenim — smatra urađenim, i da se sme koristiti u daljem razvitku matematike bez proveravanja iznova i iznova. Pretpostavljam da postoji bar jedna teorema čiju formulaciju razumeš, ali dokaz ne. Ako bi sutra želeo da primeniš tu teoremu u nekom svom radu kako bi dokazao nešto treće, da li bi takav tvoj dokaz bio korektan?

Paralela s tvojim primerom o besmrtnosti nije na mestu, jer život ne počiva na takvim principima.

Citat:

Nedeljko:
Zašto postavljati ograničenja na dužinu dokaza (dve-tri reči, jedna margina itd.)?

Nigde nisam pominjao ograničenje u dužini.

Citat:

Nedeljko:
Da li to znači da Vajls-Tejlorov dokaz nije dobar zato što je malo duži od toliko?

Ne, već smatram da Vajls—Tejlorov dokaz jeste dobar, iako ga, za razliku od iracionalnosti broja

, nisam do kraja proverio.

Citat:

Nedeljko:
No, fascinira me koliko se ljudi kunu u nešto samo zato što im je to rekla učiteljica.

Jedno je kad kaže učiteljica, a drugo je kad kaže čitav matematički svet.

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Odgovor na temu

Cypher
Sarajevo

Član broj: 29207
Poruke: 66
*.PPPoE-365.sa.bih.net.ba.

Profil

Re: Koliki je broj PI

^{29.06.2007. u 17:15 - pre 204 meseci}

Malo glupo pitanje :D :
Šta je teže računati broj pi ili broj e?!

Odgovor na temu

uranium
Beograd

Član broj: 60097
Poruke: 543
*.eunet.yu.

Jabber: uranium@elitesecurity.org
ICQ: 324386953

+5 Profil

Re: Koliki je broj PI

^{29.06.2007. u 20:30 - pre 204 meseci}

Citat:

Nedeljko: Izvinjavam se. Nisam video prikačene fajlove.

Nema potrebe da se izvinjavaš jer nisi ti kriv - način na koji je rešen upload fajlova je naprosto loš (u suštini radilo se o vrsti dirty read-a...).

Citat:

Nedeljko:Sve u svemu, mislio sam da dokumentujem jedan dokaz u okviru ove teme, ali me je sada prošla volja.

Ako ti se ovih dana vrati volja

i druge obaveze ti to dopuste - molim te napiši i svoj dokaz, verujem da nisam jedini koji bi voleo da ga pročita.

U kontekstu cele priče oko učiteljice

mogu samo da primetim da je onaj dokaz koji je dao Robert Breusch na nivou koji mogu da prate učenici 3. ili 4. razreda srednje škole - možda se neko seti jednog dana da ga i ubaci u neki od odgovarajućih udžbenika...

Citat:

Cypher:
Šta je teže računati broj pi ili broj e?!

U priloženom članku možeš pročitati šta se znalo o tome davne 1988.

u međuvremenu, bilo je nekih ograničenih uspeha (npr. BBP formula) ali ne i suštinskih pomaka (_{oprez: ne pratim aktivno tu oblast pa može biti i da debelo grešim u vezi sa poslednjom ocenom})

_{Obrati pažnju i na tabelu na 4. strani rada u prilogu.}

_{[Ovu poruku je menjao uranium dana 29.06.2007. u 21:41 GMT+1]}

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Prikačeni fajlovi

J. Borwein - P. Borwein.pdf - 284.13k

Odgovor na temu

Bojan Basic
Novi Sad

SuperModerator
Član broj: 6578
Poruke: 3996
*.dynamic.sbb.co.yu.

Jabber: bojan_basic@elitesecurity.org
ICQ: 305820253

+605 Profil

Re: Koliki je broj PI

^{29.06.2007. u 21:31 - pre 204 meseci}

Citat:

uranium:
Ako ti se ovih dana vrati volja

i druge obaveze ti to dopuste - molim te napiši i svoj dokaz, verujem da nisam jedini koji bi voleo da ga pročita.

Ne znam šta je Nedeljko imao u vidu, ali nadam se da će ti se i ovaj dokaz svideti.

Lema:

Za fiksno

, neka je

. Tada važi:
(i) Funkcija

je polinom oblika

, gde su koeficijenti

celi brojevi.
(ii) Za

važi

.
(iii) Izvodi

su celi brojevi za sve

.

Dokaz:

Tvrđenja (i) i (ii) su očigledna. Što se tiče dela (iii), primetimo da je

osim za

, a u ovom intervalu jednako je

, što jeste ceo broj. Iz

dobijamo

za sve

, te je

, takođe ceo broj.

Teorema:

je iracionalan. (Primetimo da je ovo jače tvrđenje.)

Dokaz:

Pretpostavimo da je

za prirodne

. Koristićemo polinom

,
koji zadovoljava

.

Iz dela (iii) leme sledi da su

celi brojevi. Dalje imamo

,
iz čega sledi da je

ceo broj. Štaviše,

je prirodan budući da je definisan kao integral pozitivne funkcije (osim na rubu, što nije bitno). Međutim, ukoliko odaberemo

dovoljno veliko da je

, iz dela (ii) leme dobijamo

.

Kontradikcija.

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Odgovor na temu

uranium
Beograd

Član broj: 60097
Poruke: 543
*.eunet.yu.

Jabber: uranium@elitesecurity.org
ICQ: 324386953

+5 Profil

Re: Koliki je broj PI

^{29.06.2007. u 22:17 - pre 204 meseci}

Ha, ha, ha!

Fantastičan dokaz!

Hvala Bojane!

_{source = G. Hardy, E. Wright - An introduction to the theory of numbers}

_{[Ovu poruku je menjao uranium dana 29.06.2007. u 23:44 GMT+1]}

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Odgovor na temu

Bojan Basic
Novi Sad

SuperModerator
Član broj: 6578
Poruke: 3996
*.dynamic.sbb.co.yu.

Jabber: bojan_basic@elitesecurity.org
ICQ: 305820253

+605 Profil

Re: Koliki je broj PI

^{30.06.2007. u 02:49 - pre 204 meseci}

Nije to što si naveo pravi izvor, tamo je samo prepisan dokaz, a prvi put je objavljen u radu:

Iwamoto,Yosikazu, A proof that

is irrational. J. Osaka Inst. Sci. Tech. Part I. 1, (1949). 147–148.

Sama ideja ovakvog „polinomskog“ razmatranja potiče još od Hermita, ali gornji rad samo je vrlo mala modifikacija (kojom se dobija pojačanje teoreme) Nivenovog dokaza, koji dokazuje da je

iracionalan. Referenca potonjeg je:

Niven, Ivan, A simple proof that

is irrational. Bull. Amer. Math. Soc. 53, (1947). 509.

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Odgovor na temu

uranium
Beograd

Član broj: 60097
Poruke: 543
*.eunet.yu.

Jabber: uranium@elitesecurity.org
ICQ: 324386953

+5 Profil

Re: Koliki je broj PI

^{30.06.2007. u 15:29 - pre 204 meseci}

Citat:

Bojan Basic: Nije to što si naveo pravi izvor, tamo je samo prepisan dokaz, a prvi put je objavljen u radu:

Iwamoto,Yosikazu, A proof that

is irrational. J. Osaka Inst. Sci. Tech. Part I. 1, (1949). 147–148.

Pre svega veliko hvala na ispravci!

Nisam uspeo da pronađem taj rad, ali jesam neke posredne dokaze (npr. M. Aigner, G. Ziegler - Proofs from The Book pp. 30-32 kao i Zentralblatt Math) da je to upravo tako kako kažeš

_{Ako imaš rad u el. formi, možeš li da ga okačiš ovde?}

[offtopic]

Prosto mi je neshvatljivo da Hardy i Wright doslovno prekopiraju dokaz koji je dao Iwamoto a da autora nigde ne pomenu (za razliku od Nivena)!? Naravno, modifikacija je zaista mala, ali ipak ako se radi o prepisivanju...
Čak piše i

Citat:

Hardy, Wright

Our proof of Theorem 48 is based on that of Hermite (OEuvres, 3, 154) and our proof of Theorem 49 on that of Niven (Bulletin Amer. Math. Soc. 53 (1947), 509).

Očito je to our proof samo "figure of speech"

[/offtopic]

Na kraju, da pokušam "da se popravim" u 2. iteraciji

- ako neki od ovih dokaza treba da se nađe u srednjoškolskom udžbeniku, onda je to ipak onaj genijalan Nivenov

_{[Ovu poruku je menjao uranium dana 30.06.2007. u 16:50 GMT+1]}

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Prikačeni fajlovi

Niven.pdf - 54.27k

Odgovor na temu

Bojan Basic
Novi Sad

SuperModerator
Član broj: 6578
Poruke: 3996
*.dynamic.sbb.co.yu.

Jabber: bojan_basic@elitesecurity.org
ICQ: 305820253

+605 Profil

Re: Koliki je broj PI

^{30.06.2007. u 19:15 - pre 204 meseci}

Nemam taj rad, nažalost, izgleda da i ne postoji u elektronskoj verziji. No, uveren sam da u njemu nema ništa što već nismo pretresli.

Budući da je modifikacija (kao što smo primetili već dva-tri puta) zaista mala, možda su Hardi i Rajt došli do nje nezavisno. Međutim, ono što mene još više iznenađuje je „their proof of Theorem 48, based on that of Hermite“ — izgleda da su ga bazirali na identičan način kao:

Koksma, J. F. On Niven's proof that

is irrational. Nieuw Arch. Wiskunde (2) 23, (1949). 39.

Nemam ni ovaj rad u el. formatu, ali proveri u Proofs from The Book, kao i na Zentralblatt Math (nalazi se na istom mestu gde i ono što si linkovao u prošloj poruci).

„E pa 'oće centrala da pogreši jednom, ali ne sto puta!“

Ne znam šta je u pitanju. Hardi i Rajt nisu imena kojima ovo priliči, nije im ni potrebno. Doduše, ono „our proof“ može se shvatiti i kao „dokaz koji mi objavljujemo“, ali u tom slučaju bi morali da navedu ne (samo) na čemu se zasniva, već (i) odakle je preuzet.

Što se tiče srednjoškolaca, prošle (2006) godine pojavio se dokaz koji je, navodno, pravljen upravo imajući srednjoškolce na umu. Koristi se pet trigonometrijskih identiteta (koji lako slede iz adicionih formula). Pretpostavi se da je

gde su

uzajamno prosti, pa se, s obzirom na parnost

, razmatra

gde je

, odnosno

, i tako se nekako stigne do kontradikcije. Međutim, nisam uspeo ništa više da saznam o ovom dokazu, a zvuči vrlo zanimljivo. Ako ti uspeš (ili neko drugi ko ovo pročita), bilo bi odlično. Referenca je:

Vetter, Gisela, Ein neuer elementarer Irrationalitätsbeweis für

. Math. Semesterber. 53 (2006), no. 1, 101—107.

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Odgovor na temu

uranium
Beograd

Član broj: 60097
Poruke: 543
*.eunet.yu.

Jabber: uranium@elitesecurity.org
ICQ: 324386953

+5 Profil

Re: Koliki je broj PI

^{30.06.2007. u 23:40 - pre 204 meseci}

Da, stvarno su ga "bazirali" na isti način

Čini mi se da sam uspeo da razrešim situaciju barem oko Iwamoto-a.
Naime sporni rad je objavljen 1949. tako da Hardy ima savršen alibi - umro je 1. decembra 1947

Izdanje knjige An introduction to the theory of numbers koje imam je iz 1975. - dakle Wright je malo "prčkao" po tekstu i verovatno zaboravio da osveži reference

Što se tiče Koksme nisam uspeo da dođem do rada ali nastaviću da tražim.

U vezi sa radom Vetter-ove imam jednu lošu i jednu dobru vest

Loša je da rad nisam pronašao, a dobra je da sam pronašao spisak otkrivenih grešaka u radu, kao i njenu izjavu da ne može da "zakrpi rupe".

Ako je od značaja našao sam i reference koje je koristila:

_{1. Aigner, M., Ziegler, G.M.: Das BUCH der Beweise. Berlin, Heidelberg: Springer 2002

2. Fel’dman, N.I., Nesterenko, Yu.V.: Number Theory IV, Transcendental Numbers. In: Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Vol. 44. Berlin, Heidelberg: Springer 1998

3. Hardy, G.H., Wright, E.M.: Einführung in die Zahlentheorie. München: Oldenbourg 1958

4. Niven, I.: A simple proof that π is irrational. Bull. Am. Soc. 53, 509 (1947)

5. Niven, I.: Irrational Numbers. In: Carus Monograph 11. New York: John Wiley and Sons 1956

6. Niven, I., Zuckermann, H.: Einführung in die Zahlentheorie I. Mannheim, Wien, Zürich: B. I. Wissenschaftsverlag 1991

7. Perron, O.: Irrationalzahlen. Berlin: Walter de Gruyter 1960

8. Rudio, F.: Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre. Leipzig: B.G. Teubner 1892

9. van der Waerden, B.L.: Erwachende Wissenschaft. Basel, Stuttgart: Birkhäuser 1956}

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Prikačeni fajlovi

Vetter - Errata.pdf - 106.67k

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
195.252.119.*

+2789 Profil

Re: Koliki je broj PI

^{04.07.2007. u 12:07 - pre 204 meseci}

Neka je

Iz identiteta

sledi formula

naravno za

Takođe, iz

sledi da je

Sada se može dokazati indukcijom da za svako

postoje polinomi

stepena ne višeg od

i sa celim koeficijentima takvi da je

Odavde sledi da ako su

celi brojevi takvi da je

(ovde se podrazumeva da je

definisano), onda je broj

ceo za

Pretpostavimo još da je

(kada je

svakako definisano). Tada, iz

(za

) sledi da je

odakle je

što je za dovoljno veliko

u kontradikciji sa tvrdnjom da je broj

ceo. Otuda ne postoji racionalan broj

takav da je broj

racionalan. Posebno, pošto je broj

racionalan, broj

a samim tim i broj

mora biti iracionalan.

_{[Ovu poruku je menjao Nedeljko dana 04.07.2007. u 22:25 GMT+1]}

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

uranium
Beograd

Član broj: 60097
Poruke: 543
*.eunet.yu.

Jabber: uranium@elitesecurity.org
ICQ: 324386953

+5 Profil

Re: Koliki je broj PI

^{04.07.2007. u 17:12 - pre 204 meseci}

Hvala Nedeljko izuzetno lep dokaz

Zna li se ko je autor?

Zbog ostalih koji ovo čitaju, pokušaću da otklonim greške koje si napravio u kucanju (ukoliko i sam ne napravim koju

)

Ja sam parcijalnom integracijom stigao do:

Dalje:

Takođe, verujem da bi uz

trebalo dodati i

da bi važilo

I još samo:

_{[Ovu poruku je menjao uranium dana 04.07.2007. u 19:04 GMT+1]}

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.sr.gov.yu.

+2789 Profil

Re: Koliki je broj PI

^{04.07.2007. u 21:35 - pre 204 meseci}

Hvala na ispravkama. Uneo sam ih u svoj prethodni post. Ne znam ko je autor, ali sam dokaz našao u knjizi "Realni brojevi" Milojice Jaćimovića kao zadatak.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

Milan Jovanovic
Nis, Srbija

Član broj: 70480
Poruke: 42
*.adsl.verat.net.

Profil

Re: Koliki je broj PI

^{05.07.2007. u 23:22 - pre 204 meseci}

Citat:

Pi, iliti Ludolfov broj.

Ludolfov broj je aproksimacija broja Pi i iznosi 3,14 (sto je svakako razlicito od Pi)

Odgovor na temu

Bojan Basic
Novi Sad

SuperModerator
Član broj: 6578
Poruke: 3996
*.dialup.neobee.net.

Jabber: bojan_basic@elitesecurity.org
ICQ: 305820253

+605 Profil

Re: Koliki je broj PI

^{06.07.2007. u 01:22 - pre 204 meseci}

Jok, Ludolfov broj je naziv baš za

, ne za aproksimaciju.

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Odgovor na temu

atko79
Sarajevo

Član broj: 34935
Poruke: 70
*.PPPoE-1729.sa.bih.net.ba.

Profil

Re: Koliki je broj PI

^{23.07.2007. u 21:30 - pre 203 meseci}

Pi se jos naziva i brojem zakona slucaja...

povucite paralelne linije na vecoj prostranoj hartiji izmedju kojih je razmak jednak dvostrukoj duzini palidrvceta (shibice), uzmite proizvoljnan broj palidrvcadi i bacite ih u vis iznad te hartije.

Ukupan broj tih palidrvcadi podjelite sa brojem palidrvcadi koji su pali preko linija na hartiji... kolicnik bi trebao biti 3.14...

Odgovor na temu