Tvrđenje je posledica sledeće teoreme.
Teorema:
Svaki prirodan broj oblika
jednak je zbiru kvadrata triju neparnih prirodnih brojeva.
Dokaz:
Jasno je, za početak, da je svaki kvadrat po modulu
kongruentan samo sa
,
ili
; prema tome, ukoliko se prirodan broj navedenog oblika može predstaviti kao zbir triju kvadrata, onda svaki od njih mora biti kongruentan sa
po modulu
, iz čega sledi da svaki mora biti neparan.
Dokažimo još da se svaki broj navedenog oblika zaista može predstaviti kao zbir triju kvadrata.
Pre svega, navešćemo stvari koje će nam trebati u dokazu.
• Dirihleova teorema. Svaki aritmetički niz čija je razlika uzajamno prosta s prvim članom sadrži beskonačno mnogo prostih brojeva.
— Dokaz ove teoreme je prilično komplikovan i verovatno nezanimljiv većem broju posetilaca ovog foruma. S druge strane, sama teorema je vrlo poznata i vrlo jednostavne formulacije, pa ju je sasvim opravdano koristiti bez dokaza.
• Osnovni pojmovi o celobrojnim (trinarnim) kvadratnim formama.
• Osnovni pojmovi o kvadratnim ostacima.
Neka je
trinarna kvadratna forma takva da je
. Označimo
. Na osnovu Silvesterovog kriterijuma sledi da je
pozitivno definitna akko je
i
(zapravo, ovo se jednostavno može dokazati i zasebno, ali dokaz je čista tehnikalija i nema realne potrebe za tim).
Da bismo dokazali teoremu, dovoljno je pokazati da za svako
postoje trinarna kvadratna forma
i vrednosti
takvi da važi:
Evo jedne mogućnosti. Neka je:
Primetimo da za ovako odabrane vrednosti važi
, što ispunjava uslov
. Uslov
svodi se na:
Sada imamo
, što implicira uslov
(svakako,
). Prema tome, dovoljno je za
odabrati prirodan broj
(ovim ispunjavamo uslov
) takav da je
kvadrat po modulu
, na osnovu čega ćemo iz
dobiti
.
Kako je, podsetimo se,
, zaključujemo da je
neparan broj. Prema Dirihleovoj teoremi, postoji prost broj
i prirodan broj
takav da je
. Odabraćemo
. Tada je
i
. Sada iz
i
zaključujemo:
Takođe:
, jer je
;
, jer je
;
, jer su kvadratni ostaci multiplikativni.
Ovim je dokaz završen.
Preostaje još da se vidi kako ova teorema implicira tvrđenje zadatka. Zaista, primetimo da je
. Prema tome, za svaki prirodan broj
važi:
.
Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.
Prirodan broj kao zbir najviše tri trougaona broja - dokaz?
