Navigacija
Lista poslednjih: 16, 32, 64, 128 poruka.

Iteracija ~ Iterpolacija

[es] :: Matematika :: Iteracija ~ Iterpolacija

[ Pregleda: 4223 | Odgovora: 3 ] > FB > Twit

Postavi temu Odgovori

Autor

Pretraga teme: Traži
Markiranje Štampanje RSS

Mejli

Član broj: 98330
Poruke: 2
*.smin.sezampro.yu.



Profil

icon Iteracija ~ Iterpolacija03.07.2006. u 18:39 - pre 2843 dana i 14h

Zamolila bih vas za objašnjenje metoda proste iteracije.
Npr. kako rešiti zadatak:
ispitati konvergenciju metoda proste iteracije u slučaju sistema j-na:

5x1 - x2 + x3 = 10
2x1 + 8x2 - x3 = 11
-x1 + x2 + 4x3 = 3

Jakobijev ili Gaus-Zajdelov metod? Nešto više o ovim metodima, plizić.



Hvala, odgovor bi mi značio puno :)
 
Odgovor na temu

Časlav Ilić
Braunšvajg, Nemačka

Član broj: 4945
Poruke: 543
*.lstm.uni-erlangen.de.



Profil

icon Re: Iteracija ~ Iterpolacija05.07.2006. u 17:15 - pre 2841 dana i 15h
Jednačine se transformišu u funkciju od elementa na dijagonali:


Zatim se pretpostavi neko početno rešenje (redni broj 0 u izložiocu), može i sve nule:


Potom se početno rešenje ubaci u desnu stranu transformisanih jednačina, i dobije se naredno rešenje, broj 1:


Onda se iz rešenja broj 1 na isti način dobije rešenje broj 2, pa se iz 2 dobije 3, itd.:


Ovo je Jakobijev metod.

Gaus-Sajdelov metod je vrlo sličan, jedina razlika je u tome što se pri izračunavanju desne strane odmah koriste prethodno izračunate vrednosti. Na primer, za izračunavanje , u Jakobijevom metodu koriste se i , a u Gaus-Sajedelovom (pošto je već prethodno izračunato) i (pošto još uvek nije izračunato).

Što se konvergencije tiče, recimo rešenje broj 8 i tačno rešenje su:


Ovo se može smatrati dobrom konvergencijom.

Konvergencija se može proceniti gledanjem odnosa koeficijenata na dijagonali i van nje. Greška (razlika do tačnog rešenja) u svakoj iteraciji opašće najmanje za faktor maksimalnog odnosa zbira apsolutnih vrednosti elemenata van dijagonale i apsolutne vrednosti koeficijenta na dijagonali. U datom primeru, ti odnosi su, za svaku vrstu:


Dakle, maksimalan odnos je 0,5. Znači, u svakoj iteraciji greška će biti smanjenja najmanje 0,5 puta, otud i vrlo dobro rešenje već u osmoj iteraciji, kako se vidi gore.

[Ovu poruku je menjao Časlav Ilić dana 05.07.2006. u 19:25 GMT+1]

[Ovu poruku je menjao Časlav Ilić dana 05.07.2006. u 19:34 GMT+1]

[Ovu poruku je menjao Gojko Vujovic dana 05.07.2006. u 22:25 GMT+1]

[Ovu poruku je menjao Gojko Vujovic dana 05.07.2006. u 22:31 GMT+1]
 
Odgovor na temu

Časlav Ilić
Braunšvajg, Nemačka

Član broj: 4945
Poruke: 543
*.lstm.uni-erlangen.de.



Profil

icon Re: Iteracija ~ Iterpolacija05.07.2006. u 17:16 - pre 2841 dana i 15h
Laptopovi

Lateh opet puk'o...
Prikačeni fajlovi
 
Odgovor na temu

Mejli

Član broj: 98330
Poruke: 2
*.smin.sezampro.yu.



Profil

icon Re: Iteracija ~ Iterpolacija06.07.2006. u 11:42 - pre 2840 dana i 21h
Ilija, hvala ti puno!! :)
Ja sam svoju dilemu rešila. Evo još jednog načina rešavanja ovog zadatka, ako nekome zatreba :)

Prvi način:

Za:
5x1 - x2 + x3 = 10
2x1 + 8x2 - x3 = 11
-x1 + x2 + 4x3 = 3

Proveravamo da li će iterativne metode (Jakobijeva ili Gaus-Zajdelova) da konvergiraju:

(prvo test po vrstama:)
|-1| + |1| < |5|
|2| + |-1| < |8|
|-1| + |1| < |4|

(onda po kolonama:)
|2| + |-1| < |5|
|-1| + |1| < |8|
|1| + |-1| < |4|

Zadovoljen je uslov i po kolonama i po vrstama(dovoljno je da jedan bude zadovoljen, bilo koji, po vrstama ili kolonama). J i GZ iterativne metode će da kovergiraju.

x1=10/5 + x2/5 - x3/5
x2=11/8 - x2/8 + x3/8
x3=3/4 + x1/4 - x2/4

Jakobijev metod

x1(k+1) = 2 + x2(k)/5 - x3(k)/5
x2(k+1) = 11/8 - x2(k)/8 + x3(k)/8
x3(k+1) = 3/4 + x1(k)/4 - x2(k)/4

i proizvoljno uzmes vrednosti za k=0 i pravis tablicu dok se ne poklope vrednosti:

k x1 x2 x3
------------
0 10 11 3 (lupiš 10 11 i 3 kao što su u primeru uzeli vrednosti svake jednačine, inače možeš bilo šta da uzmeš)
1 izračunaš izračunaš izračunaš

i tako dok ti se ne poklope 2 uzastopne vrednosti u koracima i to što ti se ponavlja to su rešenja x1 x2 i x3.

Gaus-Zajdelov metod
samo drugačije računaš x1 x2 i x3 (k+1)

x1(k+1) = 2 + x2(k)/5 - x3(k)/5
x2(k+1) = 11/8 - x2(k+1)/8 + x3(k)/8
x3(k+1) = 3/4 + x1(k+1)/4 - x2(k+1)/4

i onda isto praviš onu tablicu za proizvoljne vrednosti x1 x2 i x3 za k=0 i po gornjoj formuli računaš dalje vrednosti dok se ne poklope. Trebalo bi u manje koraka da se poklope od Jakobijevog metoda jer tome GZ metod i služi, da ubrza iterativni proces korišćenjem već dobijenih rezultata iz prethodne interacije.


Drugi način

5x1 - x2 + x3 = 10
2x1 + 8x2 - x3 = 11
-x1 + x2 + 4x3 = 3

pa ide

nx1 = (n-5)x1 + x2 - x3 + 10
nx2 = -2x1 + (n-8)x2 + x3 + 11
nx3 = x1 - x2 + (n-4)x3 + 3

uzimamo za n=10 i zamenjujemo

10x1 = 5x1 + x2 - x3 + 10
10x2 = - 2x1 + 2x2 + x3 + 11
10x3 = x1 - x2 + 6 x3 + 3

sve se deli sa 10 pa bude:

x1 = 0,5 x1 + 0,1 x2 - 0,1x3 +1
x2 = 0,2x1 + 0,2x2 + 0,1x3 + 1,1
x3 = 0,1x1 - 0,1x2 + 0,6x3 + 0,3

Iz toga se dobije matrica

B= / 0,5 0,1 -0,1 /
/ -0,2 0,2 0,1 /
/ 0,1 -0,1 0,6 /

C=/ 1 /
/ 1,1 /
/ 0,3 /

Ispitujemo da li metod konvergira tako što saberemo kolone matrice:

/0,5 / + /0,1/ + /-0,1/ = 0,7
/-0,2/ + /0,2/ + /0,1/ = 0,5
/0,1/ + /-0,1/ + /0,6/ = 0,8

//B// max = 0,8 i pošto je //B//<1 uslov je ispunjen i metod konvergira

Onda se radi po formuli X(1 iteracija) = BX+C ....
dobijeni rezultati za x1,x2 i x3 se uzimaju za izračunavanje sledeće iteracije
X(iteracija 2)=BX+C itd. itd.


Evo i neke literaturice:
za rešavanje linearnih j-na: Gauss-ova metoda, Gauss-Siedelova metoda i td.
http://numdis.etf.bg.ac.yu/PDFs/CLASS4.pdf
http://numdis.etf.bg.ac.yu/PDFs/vezbe4_okt2005.pdf

za rešavanje nelinearnih j-na: Njutnov metod i ostale.
http://numdis.etf.bg.ac.yu/PDFs/CLASS5.pdf
http://numdis.etf.bg.ac.yu/PDFs/vezbe5_okt2005.pdf
 
Odgovor na temu

[es] :: Matematika :: Iteracija ~ Iterpolacija

[ Pregleda: 4223 | Odgovora: 3 ] > FB > Twit

Postavi temu Odgovori

Navigacija
Lista poslednjih: 16, 32, 64, 128 poruka.