[es] - dokaz ekvivalentnosti definicija limesa po Cauchyu i Heineu?

bierkof

Član broj: 11028
Poruke: 157
*.team.ba.

Profil

dokaz ekvivalentnosti definicija limesa po Cauchyu i Heineu?

^{09.02.2006. u 15:01}

Da li neko moze da mi navede spomenuti dokaz, i kako se on tumaci...

Shvatio sam da mogu da dokazem da ako je neki broj L limes funckije po Cauchy-u onda je i po Heineu, ali obratno nisam. Bio bih zahvalan kad bi neko iznjeo taj dokaz, ne mora se pretjerano muciti oko objasnjavanja ako ne zeli.

Unaprijed hvala.

Guybrush Threepwood: How much wood could a woodchuck chuck if a woodchuck could chuck wood?
Woodsmith: A woodchuck could chuck no amount of wood since a woodchuck can't chuck wood
Guybrush Threepwood: But if a woodchuck could chuck and would chuck some amount of wood, what amount of wood would a woodchuck chuck?

^{09.02.2006. u 15:01}

uranium
Beograd

Član broj: 60097
Poruke: 514
*.eunet.yu.

Jabber: uranium@elitesecurity.org
ICQ: 324386953

Profil

Re: dokaz ekvivalentnosti definicija limesa po Cauchyu i Heineu?

^{09.02.2006. u 23:15}

Neka je

tačka nagomilavanja skupa

.

Treba da pokažemo da ako (po Heine-u) za svaki realni niz

, (takav da

) važi

, onda važi i

.

Izgleda da je uobičajen dokaz kontrapozicijom tj. da iz

sledi da postoji niz koji ispunjava sve navedene uslove, ali za koga ne važi

.

Pretpostavimo da je

(za

dokaz ostaje potpuno isti samo se pripadnost tačke

okolini tačke

iskazuje neznatno drugačije - pa bi zapis preko okolina bio sažetiji - ali kad smo već krenuli ovako...

)

Prisetimo se da

u stvari znači da

.

Dakle, iz

sledi da postoji neko

takvo da za svako

postoji

za koje važi

ali za koje ne važi

nego

.

Pošto to važi za svako

, onda uzimajući redom da je

dobijamo niz tačaka

za koje važi

ali za koje očigledno ne važi

.

Ajde, da probam sad to isto ali bez kontrapozicije. Neka je

skup svih realnih nizova

koji ispunjavaju one Heine-ove uslove i neka je

.

Neka je

proizvoljno i

, pa ako stavimo

, onda za svako

za koje važi

, postoji neki niz

i postoji

tako da važi

, pa samim tim i

.

Neke očigledne stvari nisam posebno obrazložio ali, ako bude potrebno, rado ću to učiniti.

_{[Ovu poruku je menjao uranium dana 10.02.2006. u 00:16 GMT+1]}

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

^{09.02.2006. u 23:15}

bierkof

Član broj: 11028
Poruke: 157
*.team.ba.

Profil

Re: dokaz ekvivalentnosti definicija limesa po Cauchyu i Heineu?

^{10.02.2006. u 18:40}

Hvala uranium! Svaka ti cast, odlicno si ovo objasnio. Malo sam kombinovao tvoj dokaz i jedan koji sam vec imao ali mi se cinio malo konfuzan... malo vise, ali skontao sam sada, mozes i kontradikcijom doci (ali nisi, to si napomenuo) ako za delte uzimas redom clanove niza 1/n, da lim f(x)!=L, sto odmah implicira da predpostavka nije tacna. Ali meni se takodjer svidja i tvoj pristup.

U svakom slucaju zahvalan sam ti jer si mi pomogao puno.

^{10.02.2006. u 18:40}