[es] - Mangoldt-ova funkcija

uranium
Beograd

Član broj: 60097
Poruke: 514
*.eunet.yu.

Jabber: uranium@elitesecurity.org
ICQ: 324386953

Profil

Mangoldt-ova funkcija

^{15.06.2005. u 21:55}

Uz pomoć (1), dokazati (2).

je Mangoldt-ova funkcija:

Möbius-ova funkcija:

Obe funkcije, posmatrati na skupu pozitivnih celih brojeva.
Sva sumiranja se vrše samo po pozitivnim deliocima.
Naravno, prva jednakost je tačna (dokaz je trivijalan).

Smislio sam jednostavan kombinatoran dokaz za (2), ali u njemu nisam koristio (1).

Može li mi neko pomoći s ovim?

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

^{15.06.2005. u 21:55}

Bojan Basic
Novi Sad

SuperModerator
Član broj: 6578
Poruke: 3636
*.neobee.net.

Jabber: bojan_basic@elitesecurity.org
ICQ: 305820253

Profil

Re: Mangoldt-ova funkcija

^{15.06.2005. u 22:43}

Samo momenat, nije mi jasno ako ti već imaš dokaz za (2) zašto onda tražiš drugačiji? Na svakom ispitu, takmičenju, šta god, ako je zadatak tačno rešen moraju ti priznati rešenje bez obzira na to da li se ono razlikuje od predviđenog. Jedino ako možda želiš da znaš zbog tebe lično, to je onda druga stvar.

_{[Ovu poruku je menjao Bojan Basic dana 26.08.2006. u 23:27 GMT+1]}

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

^{15.06.2005. u 22:43}

uranium
Beograd

Član broj: 60097
Poruke: 514
*.eunet.yu.

Jabber: uranium@elitesecurity.org
ICQ: 324386953

Profil

Re: Mangoldt-ova funkcija

^{16.06.2005. u 01:13}

Citat:

Bojan Basic: ...Jedino ako možda želiš da znaš zbog tebe lično, to je onda druga stvar.

Da, baš tako

U postavci je pisalo :"...koristeći (1), dokazati...".

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

^{16.06.2005. u 01:13}

Nedeljko
Nedeljko Stefanovic

Član broj: 314
Poruke: 2943
*.dial.InfoSky.Net.

Profil

Linux - merenje vremena koje je troši neki proces.

^{16.06.2005. u 14:12}

Prvo primetimo da je

Iz definicije Mebijusove funkcije sledi da ovde otpadaju svi članovi

kod kojih je

deljivo kvadratom nekog prostog broja. Dalje, neka

nije deljivo nekim prostim faktorom

broja

i neka

nije deljivo niti jednim kvadratom prostog broja. Tada se brojevi

za koje

pojavljuju u parovima oblika

a pošto za njih važi

iz prethodne jednačine dobijamo da važi

gde su

svi međusobno različiti prosti faktori broja

Dalje, primetimo da je jednačinom od koje smo pošli funkcija

jedinstveno određena. Zaista,

, pa je vrednost funkcije

jednoznačno određena u tački

a vrednost u bilo kojoj drugoj tački

joj je određena vrednostima u manjim tačkama jednačinom

gde se sumiranje vrši po svim deliteljima

broja

koji su manji od

Iz toga i iz činjenice da funkcija

ispunjava uslov

sledi da je

No, odatle se dobija da je

što je i trebalo dokazati.

_{[Ovu poruku je menjao Nedeljko dana 16.06.2005. u 17:23 GMT+1]}

^{16.06.2005. u 14:12}

uranium
Beograd

Član broj: 60097
Poruke: 514
*.eunet.yu.

Jabber: uranium@elitesecurity.org
ICQ: 324386953

Profil

Re: Mangoldt-ova funkcija

^{16.06.2005. u 16:16}

Nedeljko hvala ti na ovom rešenju. Vrlo lukavo!

Ne zameri, ali moram da primetim da je upotreba jednakosti (1) i u tvom rešenju ipak sasvim suvišna (iako ingeniozna).
Naime, kada si već stigao do:

može se direktno proveriti da je to jednako sa

a za k=1 je

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

^{16.06.2005. u 16:16}

Nedeljko
Nedeljko Stefanovic

Član broj: 314
Poruke: 2943
*.dial.InfoSky.Net.

Profil

Re: Mangoldt-ova funkcija

^{16.06.2005. u 17:17}

Ja sam do te jednakosti i stigao primenom jednakosti (1). Međutim, bilo mi je glupo da koristim eksplicitan oblik funkcije

bez dokaza, pa sam i nju dokazao opet preko jednakosti (1), čisto da bi sve bilo dokazano preko nje.

^{16.06.2005. u 17:17}

uranium
Beograd

Član broj: 60097
Poruke: 514
*.eunet.yu.

Jabber: uranium@elitesecurity.org
ICQ: 324386953

Profil

Re: Mangoldt-ova funkcija

^{16.06.2005. u 17:46}

Citat:

Nedeljko: Ja sam do te jednakosti i stigao primenom jednakosti (1).

Da, da...izvini zbog ovog previda...

Hvala još jednom!

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

^{16.06.2005. u 17:46}