Imam problema sa dokazom teoreme da svaki vp ima bazu.Prenosim detalje:
Ako je tada je baza .
Ako je tada koristimo Zermelov princip dobrog uredjenja na osnovu koga se skup (nosač vektorskog prostora) predstavlja u obliku koji je izomorfan nekom ordinalu , tj.
, pa dalje kaže:
Definišimo :

Ako je granični :
Dalje, neka je .Tvrdimo da je baza.
je generatrisa :

Neka je , tada je za neko
Postoje dve mogućnosti :
1) , što znači da je linearna kombinacija vektora iz pa time i .
2) , što znači da je iz .

je linearno nezavisan:

Pp. suprotno, tj. neka je linearna kombinacija vektora iz , tj. . Neka je i neka je .
Tada je linearna kombinacija (manjih) nekih vektora za pa po konstrukciji , što je kontradikcija.

Molim vas, pojasnite mi dokaz.

Jedino na kraju pretpostavku treba zameniti sa Ostalo je sve OK. Ako ti nešto nije jasno, trebalo bi da kažeš i šta je to što ti nije jasno.

Nije mi jasno kako biramo za elemente baze. Skup je predstavljen u obliku i to je u redu. Medjutim, način definisanja baznih vektora mi nije jasan. Shvatam da imamo tri tipa ordinala: nulu, sledbenike i granične, i jasno mi je da je prvi vektor baze .Koji je prvi sledeći?Da li treba ići redom po svim ordinalima , pa ako je sledbenik onda definišem na jedan način (i to mi nije jasno), a ako je granični, onda na drugi način?

Vektor ćemo nazvati novim ako nije linearna kombinacija vektora koji mu prethode u tom dobrom uređenju. Skup je zapravo skup svih novih vektora čiji indeks nije veći od

Izvini,ali zaista ne razumem.

Neka je i linearni omotač skupa Neka je još i Proveri da skupovi zaista imaju tražene osobine iz konstrukcije.

U svakom slučaju, kada nešto ne razumeš treba da budeš malo određeniji i da kažeš konkretno šta ne razumeš. Drugim rečima, pomozi nam da ti pomognemo.

Ja znam jedan malo drugaciji dokaz koji se u sustini svodi na isto, samo sto se koristi Zornova lema:

Ako je parcijalno uredjen skup i ako svaki lanac (skup elemenata tako da su svaka dva uporediva) ima gornju granicu, onda ima maksimalni element.

Uocis sve koji su linearno nezavisni. Skup svih takvih podskupova ( sa relacijom cini parcijalno uredjen skup, a ako je lanac, njegova gornja granica je . Da bi to dokazali, dovoljno je da dokazemo da je .

Zaista, ako su , onda postoje skupovi tako da je . Posto je lanac, to su svaka dva skupa uporediva (tj ili je ili obrnuto), pa medju njima postoji najveci (tj onaj tako da su svi ostali njegovi podskupovi). Neka je to . Prema tome pa su linearno nezavisni. Dalje sledi da je, linearno nezavisan odnosno . Na osnovu Zornove leme sad sledi da postoji maksimalni element u , i on je maksimalan linearno nezavisan skup (tj kad mu dodas bilo koji vektor prestaje da bude linearno nezavisan). Na osnovu trivijalne posledice da je max. lin. nez. sistem ujedno i minimalni potpun sledi da je baza.


Posledica se dokazuje tako sto pretpostavis da je nepotpun, tj da postoji koji ne moze da se izrazi kao lin. kombinacija vektora iz , onda uocis i za njega dokazes da je lin. nez. a to je kontradikcija jer je max. lin. nez.


Nadam se da sam ti pomog'o, tj da te nisam jos vise zbunio :). Inace, mnogim mojim kolegama sa faxa ova teorema je bila veliki problem, a verujem da ju je malo njih uopste skontalo :), nego su isli na onu varijantu a valjda nece da mi se padne ili profesor to retko pita :)!

ps. Ovaj dokaz je iz knjige Lj. Kocinac: Linearna algebra i analiticka geometrija

Hvala zaista na odgovoru, ali mi je već posle Nedeljkovog objašnjenja bilo sve OK. Što se tiče dokaza koji si mi ti objasnio, i to je sasvim u redu, ali sam varijantu korišćenja Zornove leme koristio za dokaz da svaki prsten sa jedinicom ima maksimalni ideal, i tu je slična stvar kod uočavanja nekog lanca na parcijalno uredjenom skupu svih ideala datog prstena (pri čemu je parcijalni poredak relacija biti podskup), pa zatim uočavanje unije koja sadrži sve elemente tog lanca, i dokaza da je ta unija zapravo majoranta za taj lanac, pa primena Zornove leme itd...
Dakle, sve je OK, i još jednom hvala i Nedeljku i tebi na postovima.

Zornova lema se obično (mada ne uvek) lakše primenjuje od Cermelovog principa dobrog uređenja. Možeš koristiti i sledeću Takijevu lemu:

Neka je ma koji skup i familija njegovih podskupova koja ima osobinu da za ma koji važi da je skup element familije ako i samo ako su to svi njegovi konačni podskupovi. Tada familija ima u smislu inkluzije maksimalan element.