Dokazaćemo malo jače tvrđenje: za svako
važi
, gde smo sa
označili udaljenost od najbližeg celog broja. Pri tom je jasno zašto je ovakvo tvrđenje jače od traženog, a jasno je i da ono odmah sledi ukoliko dokažemo da je
za svako
i
, te ćemo dokazivati ovo poslednje.
Primetimo da je
koren nesvodljivog polinoma
. Tražimo maksimalnu vrednost izraza
. Kako je
, važi
, što je potreban, a lako se proverava da je i dovoljan uslov za traženi maksimum, tj.
. Dalje, kako je
(zbog nesvodljivosti polinoma
), teorema o srednjoj vrednosti nam najzad daje
, što smo i želeli dokazati.
Dodao bih još nešto. Sve ovo nisam smislio ja specijalno za ovu priliku, već je u pitanju imitacija dokaza Lijuvilove (fr.
Liouville) teoreme o aproksimaciji. Postoji i slična ali mnogo jača, Routova (engl.
Roth) teorema, iz koje sledi da za sve
nejednakost
važi za svako
sem konačno mnogo. Nažalost, nema načina da odredimo koliko može biti izuzetaka, pa smo zato i bili prinuđeni da koristimo slabije, ali konkretnije metode.
Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.
Zanimljiv problem (nemam rešenje)
Registrovani: 8 ( nkrgovic, Ultrena, Pioneer cdj 200, Panta_, deltans, veselinovic, bojanum, Srečko )