Ilija, hvala ti puno!! :)
Ja sam svoju dilemu rešila. Evo još jednog načina rešavanja ovog zadatka, ako nekome zatreba :)
Prvi način:
Za:
5x1 - x2 + x3 = 10
2x1 + 8x2 - x3 = 11
-x1 + x2 + 4x3 = 3
Proveravamo da li će iterativne metode (Jakobijeva ili Gaus-Zajdelova) da konvergiraju:
(prvo test po vrstama:)
|-1| + |1| < |5|
|2| + |-1| < |8|
|-1| + |1| < |4|
(onda po kolonama:)
|2| + |-1| < |5|
|-1| + |1| < |8|
|1| + |-1| < |4|
Zadovoljen je uslov i po kolonama i po vrstama(dovoljno je da jedan bude zadovoljen, bilo koji, po vrstama ili kolonama). J i GZ iterativne metode će da kovergiraju.
x1=10/5 + x2/5 - x3/5
x2=11/8 - x2/8 + x3/8
x3=3/4 + x1/4 - x2/4
Jakobijev metod
x1(k+1) = 2 + x2(k)/5 - x3(k)/5
x2(k+1) = 11/8 - x2(k)/8 + x3(k)/8
x3(k+1) = 3/4 + x1(k)/4 - x2(k)/4
i proizvoljno uzmes vrednosti za k=0 i pravis tablicu dok se ne poklope vrednosti:
k x1 x2 x3
------------
0 10 11 3 (lupiš 10 11 i 3 kao što su u primeru uzeli vrednosti svake jednačine, inače možeš bilo šta da uzmeš)
1 izračunaš izračunaš izračunaš
i tako dok ti se ne poklope 2 uzastopne vrednosti u koracima i to što ti se ponavlja to su rešenja x1 x2 i x3.
Gaus-Zajdelov metod
samo drugačije računaš x1 x2 i x3 (k+1)
x1(k+1) = 2 + x2(k)/5 - x3(k)/5
x2(k+1) = 11/8 - x2(k+1)/8 + x3(k)/8
x3(k+1) = 3/4 + x1(k+1)/4 - x2(k+1)/4
i onda isto praviš onu tablicu za proizvoljne vrednosti x1 x2 i x3 za k=0 i po gornjoj formuli računaš dalje vrednosti dok se ne poklope. Trebalo bi u manje koraka da se poklope od Jakobijevog metoda jer tome GZ metod i služi, da ubrza iterativni proces korišćenjem već dobijenih rezultata iz prethodne interacije.
Drugi način
5x1 - x2 + x3 = 10
2x1 + 8x2 - x3 = 11
-x1 + x2 + 4x3 = 3
pa ide
nx1 = (n-5)x1 + x2 - x3 + 10
nx2 = -2x1 + (n-8)x2 + x3 + 11
nx3 = x1 - x2 + (n-4)x3 + 3
uzimamo za n=10 i zamenjujemo
10x1 = 5x1 + x2 - x3 + 10
10x2 = - 2x1 + 2x2 + x3 + 11
10x3 = x1 - x2 + 6 x3 + 3
sve se deli sa 10 pa bude:
x1 = 0,5 x1 + 0,1 x2 - 0,1x3 +1
x2 = 0,2x1 + 0,2x2 + 0,1x3 + 1,1
x3 = 0,1x1 - 0,1x2 + 0,6x3 + 0,3
Iz toga se dobije matrica
B= / 0,5 0,1 -0,1 /
/ -0,2 0,2 0,1 /
/ 0,1 -0,1 0,6 /
C=/ 1 /
/ 1,1 /
/ 0,3 /
Ispitujemo da li metod konvergira tako što saberemo kolone matrice:
/0,5 / + /0,1/ + /-0,1/ = 0,7
/-0,2/ + /0,2/ + /0,1/ = 0,5
/0,1/ + /-0,1/ + /0,6/ = 0,8
//B// max = 0,8 i pošto je //B//<1 uslov je ispunjen i metod konvergira
Onda se radi po formuli X(1 iteracija) = BX+C ....
dobijeni rezultati za x1,x2 i x3 se uzimaju za izračunavanje sledeće iteracije
X(iteracija 2)=BX+C itd. itd.
Evo i neke literaturice:
za rešavanje linearnih j-na: Gauss-ova metoda, Gauss-Siedelova metoda i td.
http://numdis.etf.bg.ac.yu/PDFs/CLASS4.pdf
http://numdis.etf.bg.ac.yu/PDFs/vezbe4_okt2005.pdf
za rešavanje nelinearnih j-na: Njutnov metod i ostale.
http://numdis.etf.bg.ac.yu/PDFs/CLASS5.pdf
http://numdis.etf.bg.ac.yu/PDFs/vezbe5_okt2005.pdf